《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

3. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB ⊥ AD $,$ BC ⊥ CD $,$ AB = BC $,$ ∠ABC = 120^{\circ} $,$ ∠MBN = 60^{\circ} $,$ ∠MBN $ 绕点 $ B $ 旋转,它的两边分别交 $ AD $,$ DC $(或它们的延长线)于点 $ E $,$ F $。
(1) 当 $ ∠MBN $ 绕点 $ B $ 旋转到 $ AE = CF $ 时(如图(1)),$ AE $,$ CF $,$ EF $ 之间的数量关系为______。
(2) 当点 $ E $ 在 $ AD $ 上,点 $ F $ 在 $ DC $ 上,但 $ AE ≠ CF $(如图(2))时,(1)中结论是否成立？请说明理由。
(3) 当点 $ E $ 在 $ AD $ 延长线上,点 $ F $ 在 $ DC $ 延长线上(如图(3))时,(1)中结论是否成立？若不成立,线段 $ AE $,$ CF $,$ EF $ 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。

答案：

(1)AE+CF=EF [解析]在△ABE和△CBF中，
{AB=CB，∠A=∠C，AE=CF}
∴△ABE≌△CBF(SAS).
∴BE=BF，
∴∠ABE=∠CBF=1/2(∠ABC−∠MBN)=1/2(120°−60°)=30°.
∴AE=1/2 BE，CF=1/2 BF.
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF.
∴AE+CF=1/2 BE+1/2 BF=EF.
(2)结论仍然成立.理由如下:
如图
(1)，延长DC至点K使得CK=AE，
在△ABE和△CBK中，
{AB=CB，∠A=∠BCK，AE=CK}
∴△ABE≌△CBK(SAS)，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC.
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°.
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°.

在△KBF和△EBF中，{BK=BE，∠KBF=∠EBF，BF=BF}
∴△KBF≌△EBF(SAS)，
∴EF=KF.
∵KF=CK+CF，
∴AE+CF=EF.
(3)结论不成立.猜想AE−CF=EF，理由如下:
如图
(2)，在DC的延长线上取点K，使CK=AE，连接BK，

在△ABE和△CBK中，{AB=CB，∠A=∠BCK，AE=CK}
∴△ABE≌△CBK(SAS).
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC.
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°.
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°.
在△EBF和△KBF中，{BE=BK，∠EBF=∠KBF，BF=BF}
∴△EBF≌△KBF(SAS)，
∴EF=KF.
∵KF=CK−CF，
∴AE−CF=EF.

4. 如图,已知 $ ∠BAC = 60^{\circ} $,$ AB = 4 $,$ AC = 6 $,点 $ P $ 在 $ △ABC $ 内,将 $ △APC $ 绕着点 $ A $ 按逆时针方向旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ △AEF $,求 $ AE + PB + PC $ 的最小值。

答案：
如图，连接BF，过点B作BD⊥AF，与FA的延长线交于点D，则∠ADB=90°.
∵将△APC绕着点A按逆时针方向旋转60°得到△AEF，
∴∠PAE=∠CAF=60°，AP=AE，PC=EF，AC=AF=6，
∴△APE为等边三角形，
∴AE=PE，
∴AE+PB+PC=PE+PB+EF.
∵PB+PE+EF≥BF，
∴当点B，P，E，F在同一条直线上时，PB+PE+EF取得最小值为BF，即AE+PB+PC取得最小值为BF.
∵∠BAC=60°=∠CAF，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=1/2 AB=2，
∴BD=√(4²−2²)=2√3，
∴DF=AD+AF=2+6=8.
在Rt△BDF中，BF=√(BD²+DF²)=√((2√3)²+8²)=2√19，
∴AE+PB+PC的最小值为2√19.