《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

4. 已知函数$y= x^{2}+bx+c$(b,c为常数)的图象经过点$(0,3),(6,3).$
(1)求b,c的值;
(2)当$0≤x≤4$时,求y的最大值与最小值之差.

答案：
(1)
∵ 函数y = x² + bx + c（b，c为常数）的图象经过点(0, 3)，(6, 3)，
∴c = 3，
∴y = x² + bx + 3。
将点(6, 3)代入，得3 = 6² + 6b + 3，解得b = -6，
∴b = -6，c = 3。
(2) y = x² - 6x + 3 = (x - 3)² - 6，
∵ 0 ≤ x ≤ 4，
∴ 当x = 3时，y取得最小值，此时y = (3 - 3)² - 6 = -6；
当x = 0时，y取得最大值，此时y = (0 - 3)² - 6 = 3。
又3 - (-6) = 9，
∴ 当0 ≤ x ≤ 4时，y的最大值与最小值之差为9。

5. 一题多问 (2024·深圳模拟)综合实践

任务1：抛物线AED的解析式为y = -$\frac{1}{9}x^{2} + 7$。
任务2：两根支撑柱之间的水平距离为6米。
任务3：“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为$\frac{37}{2}$米。

答案： 任务1：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC = 12米，AB = CD = 3米，
∴ 点A(-6, 3)，点D(6, 3)。
根据题意和图象，得顶点E的坐标为(0, 7)，
∴ 可设抛物线AED的解析式为y = ax² + 7，
把点A(-6, 3)代入解析式，得36a + 7 = 3，
解得a = -$\frac{1}{9}$，
∴ 抛物线AED的解析式为y = -$\frac{1}{9}x^{2} + 7$。
任务2：当y = 6时，-$\frac{1}{9}x^{2} + 7 = 6$，解得x = ±3。
∵ 3 - (-3) = 3 + 3 = 6（米），
∴ 两根支撑柱之间的水平距离为6米。
任务3：设点N坐标为(m, -$\frac{1}{9}m^{2} + 7$)，0 ＜ m ＜ 6，PQ，PN，MN的长度之和为w米，则PN = 2m，PQ = MN = -$\frac{1}{9}m^{2} + 7$，
∴w = 2m + 2(-$\frac{1}{9}m^{2} + 7$) = -$\frac{2}{9}m^{2} + 2m + 14 = -\frac{2}{9}(m - \frac{9}{2})^{2} + \frac{37}{2}$。
∵ -$\frac{2}{9} ＜ 0$，
∴ 当m = $\frac{9}{2}$时，w有最大值，最大值为$\frac{37}{2}$。
故“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为$\frac{37}{2}$米。