《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

12. 新情境 数学与生活融合 [课本再现]要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛.
(1)①共有28场比赛.
②设比赛组织者应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛一场.因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛一共有$\frac{x(x-1)}{2}$场,列方程:$\frac{x(x-1)}{2}=28$.
[小试牛刀](2)参加一次聚会的每两人都要握手一次,所有人共握手了10次,有多少人参加聚会?
设有x人参加聚会,
由题意,得$\frac{x(x-1)}{2}=10$,解得$x_{1}=5$,$x_{2}=-4$(舍去).
故有5人参加聚会.
[综合运用](3)将$A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}$,共n个点每两个点连一条线段共得到$y_{1}$条线段,将$B_{1},B_{2},B_{3},...,B_{2n}$,共2n个点每两个点连一条线段共得到$y_{2}$条线段,问$\frac{y_{2}}{y_{1}}$能否为整数?写出你的结论,并说明理由.
$\frac{y_{2}}{y_{1}}$能为整数.理由如下:
由题意,得$y_{1}=\frac{n(n-1)}{2}$,$y_{2}=\frac{2n(2n-1)}{2}=n(2n-1)$,$\therefore\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{n(2n-1)}{\frac{n(n-1)}{2}}=\frac{4n-2}{n-1}=\frac{4(n-1)+2}{n-1}=4+\frac{2}{n-1}$.
∵n为正整数,∴当$n=2$或3时,$\frac{y_{2}}{y_{1}}$为整数;当$n≥4$时,$\frac{y_{2}}{y_{1}}$不能为整数.

答案：
(1)①28
②$(x-1)$ $\frac {x(x-1)}{2}$ $\frac {x(x-1)}{2}=28$
(2)设有x人参加聚会,
由题意,得$\frac {x(x-1)}{2}=10$,解得$x_{1}=5,x_{2}=-4$(舍去).
故有5人参加聚会.
(3)$\frac {y_{2}}{y_{1}}$能为整数.理由如下:
由题意,得$y_{1}=\frac {n(n-1)}{2},y_{2}=\frac {2n(2n-1)}{2}=n(2n-1),$
$\therefore \frac {y_{2}}{y_{1}}=\frac {n(2n-1)}{\frac {n(n-1)}{2}}=\frac {4n-2}{n-1}=\frac {4(n-1)+2}{n-1}=4+\frac {2}{n-1}.$
∵n为正整数,
∴当$n=2$或3时,$\frac {y_{2}}{y_{1}}$为整数;当$n≥4$时,$\frac {y_{2}}{y_{1}}$不能为整数.

13. (2024·西藏中考)某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率.
(2)按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元?

答案：
(1)设商场投入资金的月平均增长率为x,
依题意,得$20(1+x)^{2}=24.2$,
解得$x_{1}=0.1=10\% ,x_{2}=-2.1$(不合题意,舍去).
故商场投入资金的月平均增长率为10%.
(2)由题意,得$24.2×(1+10\% )=26.62$(万元).
故预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.