《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

7. 分类讨论思想 (2025·江苏宿迁宿豫区期末)如图,$AB是⊙O$的直径,$AC是⊙O$的弦,$AB= 2$,$∠BAC= 30^{\circ}$,若点$D在⊙O$上,且$∠BAD= 60^{\circ}$,则$CD$的长为______。

答案：
1或2 [解析]分两种情况讨论：
当点D在 $ \overset{\frown}{AC} $ 上时，连接CB，如图
(1).
$ \because AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ \therefore \angle ACB = 90^{\circ} $.
$ \because \angle CAB = 30^{\circ} $，$ AB = 2 $，$ \therefore BC = \frac{1}{2} AB = 1 $.
$ \because \angle DAB = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle DAC = \angle DAB - \angle CAB = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle DAC = \angle CAB = 30^{\circ} $，$ \therefore DC = BC = 1 $；
当点D在 $ \overset{\frown}{ABC} $ 上时，如图
(2).
$ \because \angle DAB = 60^{\circ} $，$ \angle CAB = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle CAD = \angle BAD + \angle CAB = 90^{\circ} $，
$ \therefore CD $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ \therefore CD = AB = 2 $.
综上所述，$ CD = 1 $ 或 2.
　　　

8. (2025·广东广州番禺区期末)如图,$⊙O的直径AB的长为10cm$,弦$AC长为6cm$,$∠ACB的平分线交⊙O于点D$。求$BC$,$AD$的长。

答案：
如图，连接AD，BD，OD.
$ \because AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore \angle ACB = 90^{\circ} $.
在 $ Rt \triangle ABC $ 中，由勾股定理，得
$ BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8(cm) $.
$ \because CD $ 是 $ \angle ACB $ 的平分线，
$ \therefore \angle ACD = \angle BCD $，$ \therefore AD = BD $.
$ \because OA = OB $，$ \therefore OD \perp AB $，$ \therefore \angle AOD = 90^{\circ} $.
在 $ Rt \triangle AOD $ 中，由勾股定理，得 $ AD = \sqrt{OA^{2} + OD^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = 5\sqrt{2}(cm) $.
　　　　　　　　　　　　　　　　

9. 如图,利用三角尺可以确认图中的弦$AB$是圆的直径,其数学依据是(B)。
A. 直径所对的圆周角是直角
B. $90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 两角互余的三角形是直角三角形

答案： B

10. (2025·黑龙江哈尔滨四十七中期中改编)如图,$⊙O是\triangle ABC$的外接圆,点$E在BC$上。连接$AE交⊙O于点D$,$∠BAD+∠ACB= 90^{\circ}$。
求证：$AD为⊙O$的直径。

答案：
连接BD，如图，
$ \because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AB} $，
$ \therefore \angle ACB = \angle ADB $.
$ \because \angle BAD + \angle ACB = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle BAD + \angle ADB = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABD = 90^{\circ} $，
$ \therefore AD $ 为 $ \odot O $ 的直径.
　　　　　　　　　　　　　　　　

11. (2025·江苏南通崇川区期末)如图,四边形$ABCD内接于⊙O$,$BC为⊙O$的直径,$AB= AD$。点$E在BA$的延长线上,若$∠EAD= 40^{\circ}$,则$∠B$的度数为______。

答案：
$ 70^{\circ} $ [解析]如图，连接OA，OD.
$ \because $ 四边形ABCD内接于 $ \odot O $，
$ \therefore \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} $.
$ \because \angle BAD + \angle EAD = 180^{\circ} $，
$ \angle EAD = 40^{\circ} $，
$ \therefore \angle BCD = \angle EAD = 40^{\circ} $，
$ \therefore \angle BOD = 2 \angle BCD = 80^{\circ} $.
$ \because AB = AD $，$ \therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD} $，
$ \therefore \angle BOA = \angle DOA = 40^{\circ} $.
$ \because OA = OB $，$ \therefore \angle B = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ} $.
　　　　　　　　　　　　　　　　

12. (2025·辽宁鞍山海城期末)如图,圆内接四边形$ABCD的对角线AC$,$BD交于点E$,$DB平分∠ADC$,$∠ABD= ∠CAD$。
(1)求$∠BAD$的大小；90°
(2)过点$C作CF// AB交AD的延长线于点F$。若$AC= AB$,$DF= 3$,求圆的半径。6

答案：
(1)$ \because \angle ABD = \angle CAD $，$ \angle CBD = \angle CAD $，
$ \therefore \angle ABD = \angle CBD $.
$ \because DB $ 平分 $ \angle ADC $，$ \therefore \angle ADB = \angle CDB $.
$ \because $ 四边形ABCD为圆内接四边形，
$ \therefore \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABD + \angle CBD + \angle ADB + \angle CDB = 180^{\circ} $，
$ \therefore 2 \angle ABD + 2 \angle ADB = 180^{\circ} $，
$ \therefore \angle ABD + \angle ADB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} $.
(2)由
(1)知 $ \angle BAD = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle CAD + \angle BAE = 90^{\circ} $，BD为直径.
$ \because \angle ABD = \angle CAD $，
$ \therefore \angle ABD + \angle BAE = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle AEB = 90^{\circ} $.
$ \because BD $ 为直径，$ \therefore BD $ 垂直平分AC，$ \therefore AB = BC $.
$ \because AC = AB $，$ \therefore AB = AC = BC $，$ \therefore \triangle ABC $ 为等边三角形，
$ \therefore \angle ABC = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle ABD = \angle CBD = 30^{\circ} $.
$ \because $ 四边形ABCD为圆内接四边形，
$ \therefore \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} $.
又 $ \angle CDF + \angle ADC = 180^{\circ} $，$ \therefore \angle CDF = \angle ABC = 60^{\circ} $.
$ \because CF // AB $，$ \therefore \angle BAD + \angle AFC = 180^{\circ} $.
$ \because \angle BAD = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle AFC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle FCD = 30^{\circ} $，$ \therefore CD = 2DF $.
$ \because DF = 3 $，$ \therefore CD = 6 $. $ \because BD $ 为直径，$ \therefore \angle BCD = 90^{\circ} $.
$ \because \angle CBD = 30^{\circ} $，$ \therefore BD = 2CD = 12 $，$ \therefore $ 圆的半径为6.