《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. (2025·陕西咸阳彬州月考)已知多项式$A= x^{2}+7x$和$B= 2-3x$,若$A的值与B$的值互为相反数,求$x$的值.
$x$的值为$-2+\sqrt{2}$或$-2-\sqrt{2}$。

答案： $\because$多项式$A=x^{2}+7x$和$B=2-3x$的值互为相反数，
$\therefore x^{2}+7x+2-3x=0$，整理，得$x^{2}+4x+2=0$，
解得$x_{1}=-2+\sqrt{2}$，$x_{2}=-2-\sqrt{2}$，
$\therefore x$的值为$-2+\sqrt{2}$或$-2-\sqrt{2}$。
思路引导 代数式$A$的值与$B$的值互为相反数，则这两个代数式的和为0，列方程求解即可。

12. 中考新考法 归纳一般结论 (1)解下列方程:
①$x^{2}-2x-2= 0$;②$2x^{2}+3x-1= 0$;
③$2x^{2}-4x+1= 0$;④$x^{2}+6x+3= 0$.
① $\because a=1$，$b=-2$，$c=-2$，$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-2)=12＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}$，$\therefore x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1-\sqrt{3}$。② $\because a=2$，$b=3$，$c=-1$，$\therefore b^{2}-4ac=3^{2}-4×2×(-1)=17＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$。③ $\because a=2$，$b=-4$，$c=1$，$\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×2×1=8＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$，$\therefore x_{1}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。④ $\because a=1$，$b=6$，$c=3$，$\therefore b^{2}-4ac=6^{2}-4×1×3=24＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{2}=-3\pm\sqrt{6}$，$\therefore x_{1}=-3+\sqrt{6}$，$x_{2}=-3-\sqrt{6}$。
(2)上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点方程①③④的一次项系数都为偶数$2n$($n$是整数),并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式一元二次方程$ax^{2}+2nx+c=0(n^{2}-ac\geq0)$的求根公式为$x=\frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-ac}}{a}$.

答案：
(1) ① $\because a=1$，$b=-2$，$c=-2$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times(-2)=12＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1-\sqrt{3}$。
② $\because a=2$，$b=3$，$c=-1$，
$\therefore b^{2}-4ac=3^{2}-4\times2\times(-1)=17＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$。
③ $\because a=2$，$b=-4$，$c=1$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times2\times1=8＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore x_{1}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
④ $\because a=1$，$b=6$，$c=3$，
$\therefore b^{2}-4ac=6^{2}-4\times1\times3=24＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{2}=-3\pm\sqrt{6}$，
$\therefore x_{1}=-3+\sqrt{6}$，$x_{2}=-3-\sqrt{6}$。
(2) 方程①③④的一次项系数都为偶数$2n$($n$是整数)。一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$，其中$b^{2}-4ac\geq0$，$b=2n$，$n$为整数。
$\because b^{2}-4ac\geq0$，即$(2n)^{2}-4ac\geq0$，$\therefore n^{2}-ac\geq0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2n\pm\sqrt{4n^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-ac}}{a}$，
$\therefore$一元二次方程$ax^{2}+2nx+c=0(n^{2}-ac\geq0)$的求根公式为$x=\frac{-n\pm\sqrt{n^{2}-ac}}{a}$。

13. 数形结合思想 古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中,有形如$x^{2}+ax= b^{2}(a＞0,b＞0)$的方程的图解法:如图,以$\frac{a}{2}和b为两直角边作\text{Rt}\triangle ABC$,再在斜边上截取$BD= \frac{a}{2}$,则$AD$的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母$a,b的代数式表示AD$的长;
$\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处.
正确性：$AD$的长就是方程的正根。
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根。

答案：
(1) $\because\angle ACB=90^{\circ}$，$BC=\frac{a}{2}$，$AC=b$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}$，
运用勾股定理
$\therefore AD=AB-BD=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}-\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$。
(2) 用求根公式求得方程$x^{2}+ax-b^{2}=0$的解为$x_{1}=\frac{-\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{4b^{2}+a^{2}}-a}{2}$。
正确性：$AD$的长就是方程的正根。
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根。

14. 中考新考法 添加条件开放 (2023·青海中考)为丰富学生课余生活,提高学生运算能力,数学小组设计了如下的解题接力游戏:
(1)解不等式组:$\begin{cases}2x-1＜7,①\\x+1＞2;②\end{cases}$
(2)当$m$取(1)的一个整数解时,解方程$x^{2}-2x-m= 0$.

答案：
(1) 由①，得$x＜4$，由②，得$x＞1$，
故不等式组的解集为$1＜x＜4$。
(2) 答案不唯一。由
(1)知$1＜x＜4$，$\therefore$令$m=2$，
则方程变为$x^{2}-2x-2=0$，
$\because a=1$，$b=-2$，$c=-2$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times(-2)=12$，
$\therefore x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2\times1}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$，