《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 教材P83练习T1·变式 (2024·新疆中考)如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,$AB⊥CD$,垂足为E. 若$CD= 8$,$OD= 5$,则BE的长为(B).

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

2. (2023·永州中考)如图,$\odot O$是一个盛有水的容器的横截面,$\odot O$的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为______cm.

答案：
16　[解析]如图,过点O作OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,连接OA,
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB.由题意,知OA=10cm,CD=4cm,
∴OC=6cm.
在Rt△AOC中,AC=$\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8(cm),
∴AB=2AC=16cm.
解后反思　有关弦的问题，常添弦心距与半径构成一个直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解有关线段的长度

3. 教材P82例2·变式 如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为30 m,拱高PM为9 m,当洪水泛滥到跨度只有15 m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有2 m,即$PN= 2m$时,试求：
(1)拱桥所在的圆的半径；
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.

答案：

(1)如图，设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',设半径为x m,则OA=OA'=x m.
由垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N.
∵AB=30m,
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=15m.
连接OM.
∵AM=BM,
∴OM⊥AB,且点O,M,P共线,
∴OP=x m.
在Rt△AOM中,OM=OP - PM=(x - 9)m.
由勾股定理,得AO²=OM²+AM²,
即x²=(x - 9)²+15²,解得x=17,
即拱桥所在的圆的半径为17m.
(2)
∵OP=17m,
∴ON=OP - PN=17 - 2=15(m).
在Rt△A'ON中,A'N=$\sqrt{OA'^{2}-ON^{2}}$=$\sqrt{17^{2}-15^{2}}$=8(m),
∴A'B'=2A'N=16m＞15m,
∴不需要采取紧急措施.
解后反思　构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题,这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数解决几何问题的数学思想方法一定要掌握.

4. 传统文化 “桨轮船” (2025·广东广州白云区期末)唐代李皋发明了“桨轮船”,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导. 如图,某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4 m,轮子的吃水深度CD为1 m,则该桨轮船的轮子直径为(C).

A. $\frac{5}{2}m$
B. 4 m
C. 5 m
D. 6 m

答案： C

5. (2024·武威三模)如图,$\odot O$的半径为5,弦$AB= 6$,点C在弦AB上,延长CO交$\odot O$于点D,则CD的取值范围是( ).

A. $6≤CD≤8$
B. $8≤CD≤10$
C. $9＜CD＜10$
D. $9≤CD≤10$

答案：
D　[解析]如图,过O作OH⊥AB于H,
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3.
∵⊙O的半径为5,
∴OB=5,
∴OH=$\sqrt{OB^{2}-BH^{2}}$=4,
∴当C和H重合时,OC的最小值是4,CD的最小值是4 + 5=9,当CD是圆直径时,CD的值最大是5×2=10,
∴CD的取值范围是9≤CD≤10.故选D.

6. (四川成都外国语学校自主招生)如图,用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上,若四周下垂的最大长度相等,则桌布下垂的最大长度x为( ).

A. $(\sqrt{2}-1)a$
B. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}a$
C. $\frac{2-\sqrt{2}}{4}a$
D. $(2-\sqrt{2})a$

答案：
C　[解析]根据题意画出图形,如图，对角线长为a的正方形桌面的边长EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a.
∵四边形AEFD为矩形，
∴AD=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a.
又BC=a,
∴AB=$\frac{BC - AD}{2}$=$\frac{a - \frac{\sqrt{2}}{2}a}{2}$=$\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$a.
∴桌布下垂的最大长度为$\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$a.故选C.

7. (2024·张家口宣化区模拟)如图,AB是$\odot O$的直径,弦CD交AB于点P,$AP= 2$,$BP= 6$,$∠APC= 30^{\circ}$,则CD的长为______.

答案：
2$\sqrt{15}$　[解析]如图,作OH⊥CD于H,连接OC,
∵OH⊥CD,
∴HC=HD.
∵AP=2,BP=6,
∴AB=8,
∴OA=4,
∴OP=OA - AP=2.
在Rt△OPH中,
∵∠OPH=30°,
∴OH=$\frac{1}{2}$OP=1.
在Rt△OHC中,
∵OC=4,OH=1,
∴CH=$\sqrt{OC^{2}-OH^{2}}$=$\sqrt{15}$,
∴CD=2CH=2$\sqrt{15}$.