《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

9. (2024·苏州中考)二次函数$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m)$,其中m,n为常数,则$\frac {m}{n}$的值为-$\frac{3}{5}$.

答案： -$\frac{3}{5}$ [解析]将A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)代入y = ax² + bx + c(a ≠ 0),得$\begin{cases}c = m,\\a + b + c = - m,\\9a + 3b + c = - m,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a = \frac{2}{3}m,\\b = - \frac{8}{3}m,\\c = m.\end{cases}$
∴y = $\frac{2}{3}mx² - \frac{8}{3}mx + m$,把C(2,n)代入y = $\frac{2}{3}mx² - \frac{8}{3}mx + m$,得n = $\frac{2}{3}m×2² - \frac{8}{3}m×2 + m$,
∴n = -$\frac{5}{3}m$,
∴$\frac{m}{n}$ = $\frac{m}{-\frac{5}{3}m}$ = -$\frac{3}{5}$.

10. (2025·山东东营期中)如图,抛物线$y= mx^{2}+bx+4经过点A(-3,0)$,点B在抛物线上,$CB// x$轴,且AB平分$∠CAO$,则此抛物线的解析式是____y = -$\frac{1}{6}x² + \frac{5}{6}x + 4$.

答案： y = -$\frac{1}{6}x² + \frac{5}{6}x + 4$ [解析]在y = mx² + bx + 4中,令x = 0,得y = 4,
∴C(0,4),即OC = 4.
∵点A的坐标为(-3,0),
∴OA = 3.在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC = $\sqrt{OA² + OC²}$ = 5.
∵CB//x轴,
∴∠CBA = ∠BAO.
∵AB平分∠CAO,
∴∠CAB = ∠BAO,
∴∠CAB = ∠CBA,
∴BC = AC = 5.
∵CB//x轴,
∴B(5,4).把A,B两点坐标代入y = mx² + bx + 4中,得$\begin{cases}9m - 3b + 4 = 0,\\25m + 5b + 4 = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = - \frac{1}{6},\\b = \frac{5}{6},\end{cases}$
∴此抛物线的解析式为y = -$\frac{1}{6}x² + \frac{5}{6}x + 4$.

11. 在平面直角坐标系中,点$A(m,n)为抛物线y= ax^{2}-(a+1)x-2(a＞0)$上一动点,当$0＜m≤3$时,点A关于x轴的对称点始终在直线$y= -x+2$的上方,则a的取值范围是____.

答案：
0 ＜ a ＜ 1 [解析]如图,直线y = - x + 2中,当x = 3时,y = - x + 2 = - 1.
∵A(m,n)关于x轴的对称点始终在直线y = - x + 2的上方,
∴当x = 3时,n ＜ 1,
∴9a - 3(a + 1) - 2 ＜ 1,解得a ＜ 1,
∴a的取值范围是0 ＜ a ＜ 1.

12. 如图,二次函数与一次函数的图象交于顶点$A(-4,-1)和点B(-2,3)$,一次函数的图象与y轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式.$y=(x + 4)^2 - 1$
(2)y轴上是否存在点P使$\triangle PAB$的面积为3?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.存在，点P的坐标为(0,4)或(0,10)

答案：
(1)
∵二次函数的顶点为A(-4,-1),
∴设二次函数的解析式为y₁ = a(x + 4)² - 1.
∵二次函数的图象经过B(-2,3),
∴3 = a(-2 + 4)² - 1,解得a = 1,
∴二次函数的解析式为y₁ = (x + 4)² - 1.
(2)设直线AB的解析式为y₂ = kx + b,把A(-4,-1)和B(-2,3)代入,得$\begin{cases}-4k + b = - 1,\\-2k + b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = 7,\end{cases}$
∴一次函数的解析式为y₂ = 2x + 7.由一次函数y₂ = 2x + 7可知C(0,7),设P(0,n),
∴PC = |n - 7|,
∴S△PAB = S△PAC - S△BPC = $\frac{1}{2}$(4 - 2)·|n - 7| = 3,
∴|n - 7| = 3,
∴n = 4或10,
∴P(0,4)或P(0,10).
解题通法　用待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出解析式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.

13. (2024·舟山三模)已知一次函数y= x-5的图象与x轴,y轴分别交于点A,B.将点A向左平移4个单位,得到点A',且点A'恰好在二次函数y= ax^{2}+bx-3(a,b是常数,a≠0)图象的对称轴上.(1)用含a的代数式表示b;b=-2a(2)求证:二次函数与一次函数图象交于一个定点,并求出该点的坐标;证明：由$\begin{cases}y = ax² + bx - 3,\\y = x - 5,\end{cases}$得ax²+(-2a - 1)x + 2 = 0，化简得(ax - 1)(x - 2)=0，解得$x₁=\frac{1}{a}，$x₂=2，当x=2时，y=2 - 5=-3，所以二次函数与一次函数必定交于一个定点，该点的坐标为(2,-3)(3)若二次函数图象与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.$a\lt0$或$0\lt a\lt\frac{1}{5}$或$a=\frac{1}{2}$

答案：
(1)令y = 0,则x = 5,
∴A(5,0),
∴将点A向左平移4个单位,得到点A'(1,0).
∵点A'恰好在二次函数y = ax² + bx - 3(a,b是常数,a ≠ 0)图象的对称轴上,
∴ -$\frac{b}{2a}$ = 1,
∴b = - 2a.
(2)
∵二次函数必过定点(0,-3),且二次函数的对称轴是直线x = 1,
∴二次函数也过定点(2,-3).当x = 2时,一次函数的函数值恰好也是 - 3,
∴二次函数与一次函数必定交于一个定点,该点的坐标为(2,-3).
(3)①当a ＜ 0时,
∵二次函数的对称轴为直线x = 1,抛物线与y轴交于点(0,-3),一次函数与y轴交于点(0,-5),且两函数必定交于一个定点为(2,-3),
∴由图象可得,a ＜ 0时,均符合题意;②当a ＞ 0时,由图象可得,当x = 5时,y ＜ 0,或者二次函数与线段AB只有一个交点(2,-3)时,符合题意.当x = 5时,y = 25a - 10a - 3 ＜ 0,解得a ＜ $\frac{1}{5}$;当二次函数与线段AB只有一个交点(2,-3)时,由$\begin{cases}y = ax² + bx - 3,\\y = x - 5,\end{cases}$得ax² + (-2a - 1)x + 2 = 0,则Δ = 0,解得a = $\frac{1}{2}$.综上所述,a的取值范围是a ＜ 0或0 ＜ a ＜ $\frac{1}{5}$或a = $\frac{1}{2}$.
一题多解　
(2)由$\begin{cases}y = ax² + bx - 3,\\y = x - 5,\end{cases}$得ax² + (-2a - 1)x + 2 = 0,化简得(ax - 1)(x - 2) = 0,解得x₁ = $\frac{1}{a}$,x₂ = 2,
∴二次函数与一次函数必定交于一个定点,该点的坐标为(2,-3).

14. 中考新考法 存在性问题 如图,抛物线$y= x^{2}+bx+c经过点A(-1,0)$,点$B(2,-3)$,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式.$y=x^{2}-2x-3$
(2)抛物线上是否存在点P,使$\triangle PBC的面积是\triangle BCD$面积的4倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.存在，点P的坐标为$(1+\sqrt{5},1)$或$(1-\sqrt{5},1)$

答案：
(1)
∵抛物线y = x² + bx + c经过点A(-1,0),点B(2,-3),
∴$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\4 + 2b + c = - 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = - 2,\\c = - 3.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y = x² - 2x - 3.
(2)存在.理由如下:
∵y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4,
∴点D的坐标为(1,-4).令x = 0,则y = - 3,
∴点C的坐标为(0,-3).又点B的坐标为(2,-3),
∴BC//x轴,
∴S△BCD = $\frac{1}{2}$×2×1 = 1.设抛物线上的点P坐标为(m,m² - 2m - 3),
∴S△PBC = $\frac{1}{2}$×2×|m² - 2m - 3 - (-3)| = |m² - 2m|.当|m² - 2m| = 4×1时,解得m = 1 ± $\sqrt{5}$,当m = 1 + $\sqrt{5}$时,m² - 2m - 3 = 1,当m = 1 - $\sqrt{5}$时,m² - 2m - 3 = 1,综上所述,点P的坐标为(1 + $\sqrt{5}$,1)或(1 - $\sqrt{5}$,1).
解后反思　本题考查二次函数的性质,掌握待定系数法求函数解析式的方法,理解二次函数图象上点的坐标特征,利用方程思想解题是关键.