《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

10. 若抛物线$y = ax^{2}+bx + c经过点A(0,-3)$,$B(2,-3)$,$C(-2,5)$,则该抛物线上纵坐标为$5的另一个点D$的坐标是____(4,5)。

答案： (4,5) [解析]
∵抛物线y = ax²+bx+c经过点A(0, - 3)，B(2, - 3)，
∴其对称轴为x = $\frac{0 + 2}{2}$ = 1。设D(x,5)，
∵点C( - 2,5)在此抛物线上，
∴$\frac{x - 2}{2}$ = 1，解得x = 4，
∴D(4,5)。

11. (2025·湖北黄冈期中)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的y与x$的部分对应值如表:

(1)求这个二次函数解析式;
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象;
(3)当$x$的取值范围为____时,$y＞-3$。

答案：

(1) 由表格知二次函数图象与x轴的两个交点，故可用交点式求解析式。设二次函数的解析式为y = a(x + 1)(x - 3)，把(1,1)代入得1 = a×2×( - 2)，解得a = - $\frac{1}{4}$，
∴二次函数的解析式为y = - $\frac{1}{4}$(x + 1)(x - 3)，即y = - $\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$。
(2) 画出函数图象如图所示。

(3) - 3 ＜ x ＜ 5 [解析]
∵y = - 3时，x = - 3或x = 5，且抛物线开口向下，
∴当 - 3 ＜ x ＜ 5时，y ＞ - 3。

12. (2025·陕西西安期末)若二次函数$y = ax^{2}+bx + 1(a\neq0)的图象经过A(1,0)$,$B(2,1)$两点,求该二次函数的解析式。

答案： 由题知，因为二次函数y = ax²+bx+1(a≠0)的图象经过A(1,0)，B(2,1)两点，所以$\begin{cases}a + b + 1 = 0 \\ 4a + 2b + 1 = 1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = - 2 \end{cases}$，所以二次函数的解析式为y = x²−2x+1。

13. (2025·浙江宁波镇海区期末)将抛物线$y = x^{2}-6x + 5$先向右平移1个单位长度,再向上平移$2$个单位长度,得到的抛物线的函数解析式为(D)。
A. $y = (x - 4)^{2}-6$
B. $y = (x - 1)^{2}-3$
C. $y = (x - 2)^{2}-2$
D. $y = (x - 4)^{2}-2$

答案： D [解析]
∵y = x²−6x+5=(x - 3)²−4，
∴将抛物线y = (x - 3)²−4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数解析式为y = (x - 3 - 1)²−4 + 2，即y = (x - 4)²−2。故选D。

14. (2025·北京密云区期末)已知抛物线$y = x^{2}-4x - 1$。
(1)求抛物线的顶点坐标(2, - 5)、对称轴直线x = 2;
(2)抛物线$y = x^{2}-4x - 1$可以由抛物线y = x²经过平移得到,任写出一种平移方法先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度。

答案：
(1) 因为y = x²−4x−1=(x - 2)²−5，所以抛物线的顶点坐标为(2, - 5)，对称轴为直线x = 2。
(2) 抛物线y = x²−4x−1可以由抛物线y = x²先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到（答案不唯一）。结合“上加下减，左加右减”的平移法则

15. (2025·上海杨浦区一模改编)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)经过点A(0,3)$,点$B(4,3)$,点$C(1,0)$。
(1)求此抛物线的解析式。
(2)将上述抛物线平移,使它的顶点移动到点$(-2,2)$的位置,那么该如何平移?

答案：
(1)
∵抛物线y = ax²+bx+c(a≠0)经过点A(0,3)，点B(4,3)，点C(1,0)，
∴$\begin{cases}c = 3 \\ 16a + 4b + c = 3 \\ a + b + c = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ b = - 4 \\ c = 3 \end{cases}$，
∴该抛物线的解析式为y = x²−4x+3。
(2)
∵y = x²−4x+3=(x - 2)²−1，
∴抛物线的顶点为(2, - 1)。要将顶点移动到点( - 2,2)的位置，则抛物线应向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度。（答案不唯一）