《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·浙江杭州期中)二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,则点$(a,b+c)$位于(B).

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： B [解析]
∵二次函数图象开口向下,
∴a ＜ 0.
∵对称轴在y轴的右侧,
∴b ＞ 0.
∵二次函数的图象与y轴的正半轴有交点,
∴c ＞ 0,
∴b + c ＞ 0,
∴(a,b + c)在第二象限.故选B.
知识拓展　抛物线图象与系数的关系,其中a决定抛物线的开口方向;a与b同号对称轴在y轴左边,a与b异号对称轴在y轴右边;c的符号决定抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴;抛物线与x轴的交点个数与根的判别式的正负有关,此外还可以在抛物线图象上找出特殊点对应函数值的正负来进行判断.

2. 二次函数$y= ax^{2}+bx$的图象如图所示,则一次函数$y= ax+b$的图象一定不经过(C).

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： C [解析]由二次函数图象,可得a ＜ 0,-$\frac{b}{2a}$ ＞ 0,
∴b ＞ 0,
∴y = ax + b的图象过第一、二、四象限,不过第三象限.故选C.

3. 已知抛物线的顶点为$(-1,-3)$,与y轴的交点为$(0,-5)$,则此抛物线的解析式是y = - 2x² - 4x - 5.

答案： y = - 2x² - 4x - 5 [解析]由题意可设y = a(x + 1)² - 3,将(0,-5)代入,得a - 3 = - 5,解得a = - 2,则抛物线解析式为y = - 2(x + 1)² - 3 = - 2x² - 4x - 5.

4. (2025·浙江金华义乌绣湖中学月考)设a,b是常数,且$b＞0$,抛物线$y= ax^{2}+bx+a^{2}-5a-6$为图中四个图象之一,则a的值为____-1.

答案： - 1 [解析]
∵题图
(1)和题图
(2)表示y = 0时,有1和 - 1两个根,代入表达式能得出b = - b,即b = 0,不合题意,
∴排除前两个图象.
∵第三个图象中a ＞ 0,又 -$\frac{b}{2a}$ ＞ 0,
∴b ＜ 0,与已知矛盾,排除,
∴抛物线y = ax² + bx + a² - 5a - 6的图象是第四个图,由图象可知,抛物线经过原点(0,0),
∴a² - 5a - 6 = 0,解得a = - 1或6.
∵a ＜ 0,
∴a = - 1.

5. (2025·广东广州期中)如图,抛物线与x轴交于点$A(-1,0)$和B,与y轴交于点C,下列结论:
①$abc＜0$;②$2a+b＜0$;
③$4a-2b+c＞0$;④$3a+c＞0$.
正确的是____③④(写编号).

答案： ③④ [解析]
∵该抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,与y轴相交于负半轴,
∴a ＞ 0,b ＜ 0,c ＜ 0,
∴abc ＞ 0,故①不正确;
∵对称轴为直线x = -$\frac{b}{2a}$ ＜ 1,
∴2a + b ＞ 0,故②不正确;由图可知,当x = - 2时,y = 4a - 2b + c ＞ 0,故③正确;由图可知,当x = - 1时,y = a - b + c = 0,
∵2a + b ＞ 0,
∴2a ＞ - b.
∴a + 2a + c ＞ a - b + c,即3a + c ＞ 0,故④正确.综上所述,正确的有③④.

6. (2025·广东惠山期中)如图,已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图象经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3)$.
(1)求二次函数的解析式;$y = - x² - 2x + 3$
(2)判断点$P(-2,3)$是否在该二次函数的图
象上,如果在,请求出$\triangle ABP$的面积;如果不在,试说明理由.在，面积为6

答案：
(1)设抛物线解析式为y = a(x + 3)(x - 1),把C(0,3)代入,得3 = a×3×(-1),解得a = - 1,
∴抛物线解析式为y = -(x + 3)(x - 1),即y = - x² - 2x + 3.
(2)当x = - 2时,y = - 4 + 4 + 3 = 3,
∴点P(-2,3)在该二次函数的图象上.
∵A(-3,0),B(1,0),P(-2,3),
∴△ABP的面积 = $\frac{1}{2}$×(1 + 3)×3 = 6.

7. 教材P39探究·拓展 在“探索函数$y= ax^{2}+bx+c$的系数a,b,c与图象的关系"活动中,老师给出了如图所示的平面直角坐标系中的四个点:$A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3)$.同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象,发现这些图象对应的函数解析式各不相同,其中a的值最大为($\frac{5}{2}$).

A. $\frac {5}{2}$
B. $\frac {3}{2}$
C. $\frac {5}{6}$
D. $\frac {1}{2}$

答案： A [解析]由图象知,经过A,B,D三点的二次函数图象开口向上,a ＞ 0;经过A,B,C三点的二次函数图象开口向上,a ＞ 0;经过B,C,D三点的二次函数图象开口向下,a ＜ 0;经过A,D,C三点的二次函数图象开口向下,a ＜ 0.即只需比较图象经过A,B,D三点的二次函数的a值和图象经过A,B,C三点的二次函数的a值即可.设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y₁ = a₁x² + b₁x + c₁,将A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入,得$\begin{cases}c₁ = 2,\\a₁ + b₁ + c₁ = 0,\\9a₁ + 3b₁ + c₁ = 1,\end{cases}$解得a₁ = $\frac{5}{6}$;设图象经过A,B,D三点的二次函数的解析式为y₂ = a₂x² + b₂x + c₂,将A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入,得$\begin{cases}c₂ = 2,\\a₂ + b₂ + c₂ = 0,\\4a₂ + 2b₂ + c₂ = 3,\end{cases}$解得a₂ = $\frac{5}{2}$,
∴a的最大值为$\frac{5}{2}$.故选A.
思路引导　比较任意三个点组成的二次函数中的a值时,先比较开口方向,若开口向下,则a ＜ 0,只需把开口向上的二次函数解析式求出即可.

8. (2024·东营中考)已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c$$(a≠0)$的图象如图所示,则下列结论正确的是(D).

A. $abc＜0$
B. $a-b= 0$
C. $3a-c= 0$
D. $am^{2}+bm≤a-b$(m为任意实数)

答案： D [解析]由函数图象可知,a ＜ 0,b ＜ 0,c ＞ 0,所以abc ＞ 0.故A选项不符合题意.因为抛物线经过点(-3,0)和(1,0),所以抛物线的对称轴为直线x = - 1,则 -$\frac{b}{2a}$ = - 1,所以2a - b = 0.故B选项不符合题意.因为抛物线过点(1,0),所以a + b + c = 0.将b = 2a代入a + b + c = 0得,a + 2a + c = 0,所以3a + c = 0.故C选项不符合题意.因为抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0),所以抛物线的对称轴为直线x = $\frac{-3 + 1}{2}$ = - 1.又因为抛物线开口向下,所以当x = - 1时,函数取得最大值a - b + c,所以对于抛物线上的任意一点(横坐标为m),总有am² + bm + c ≤ a - b + c,即am² + bm ≤ a - b.故D选项符合题意.故选D.
知识拓展　二次函数图象与系数的关系:二次函数y = ax² + bx + c(a ≠ 0):①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a ＞ 0时,抛物线开口向上;当a ＜ 0时,抛物线开口向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大,开口就越小;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号(即ab ＞ 0)时,对称轴在y轴左侧;当a与b异号(即ab ＜ 0)时,对称轴在y轴右侧(简称:左同右异);③常数项c决定抛物线与y轴的交点,抛物线与y轴交于点(0,c).