《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. (浙江宁波鄞州中学大讲堂自主招生)设$m$,$n$为正整数,且$m\neq2$,如果对一切实数$t$,二次函数$y = x^{2}+(3 - mt)x - 3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t + n|$,求$m$,$n$的值.

答案： 因为一元二次方程$x^{2}+(3-mt)x-3mt=0$的两根分别为mt和-3，所以二次函数$y=x^{2}+(3-mt)x-3mt$的图象与x轴的两个交点间的距离为$|mt+3|$.
由题意，得$|mt+3|≥|2t+n|$，即$(mt+3)^{2}≥(2t+n)^{2}$，
即$(m^{2}-4)t^{2}+(6m-4n)t+9-n^{2}≥0$.
由题意，知$m^{2}-4≠0$，且上式对一切实数t恒成立，
$\therefore \left\{\begin{array}{l} m^{2}-4＞0,\\ \Delta =(6m-4n)^{2}-4(m^{2}-4)(9-n^{2})≤0,\end{array}\right.$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} m＞2,\\ 4(mn-6)^{2}≤0,\end{array}\right. \therefore \left\{\begin{array}{l} m＞2,\\ mn=6.\end{array}\right. $
$\because m$，$n$为正整数，$\therefore \left\{\begin{array}{l} m=3,\\ n=2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m=6,\\ n=1.\end{array}\right. $

12. (山东滨州惠民自主招生)已知抛物线$y = x^{2}-(2m - 1)x + m^{2}-m$.
(1)求证：此抛物线与$x$轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线$y = x - 3m + 3$的一个交点在$y$轴上,求$m$的值$-3$或$1$.

答案：
(1)令$y=0$，得$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}-m=0$，
$\because \Delta =(2m-1)^{2}-4(m^{2}-m)×1=(4m^{2}-4m+1)-(4m^{2}-4m)=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴原抛物线与x轴必有两个不同的交点.
(2)令$x=0$，根据题意，有$m^{2}-m=-3m+3$，
解得$m=-3$或$m=1$.

13. 中考新考法整点存在性问题在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.设函数$y= (4a + 2)x^{2}+(9 - 6a)x - 4a + 4$(实数$a$为常数)的图象为图象$T$.
(1)求证：无论$a$取什么实数,图象$T与x$轴总有公共点.
(2)是否存在整数$a$,使图象$T与x$轴的公共点中有整点?若存在,求所有整数$a$的值；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)当$4a+2=0$，即$a=-\frac {1}{2}$时，函数解析式为$y=12x+6$，
令$y=0$，得$x=-\frac {1}{2}$，此时函数$y=(4a+2)x^{2}+(9-6a)x-4a+4$(实数a为常数)的图象与x轴有交点；
当$a≠-\frac {1}{2}$时，$y=(4a+2)x^{2}+(9-6a)x-4a+4$为二次函数，
$\because \Delta =(9-6a)^{2}-4(4a+2)(-4a+4)=100a^{2}-140a+49=(10a-7)^{2}≥0$，
∴函数$y=(4a+2)x^{2}+(9-6a)x-4a+4$(实数a为常数)的图象与x轴有交点.
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点.
(2)存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点.理由如下：
当$a=-\frac {1}{2}$时，不符合题意；
不要忽视此种情况的存在
当$a≠-\frac {1}{2}$时，在$y=(4a+2)x^{2}+(9-6a)x-4a+4$中，令$y=0$，得$0=(4a+2)x^{2}+(9-6a)x-4a+4$，解得$x=-\frac {1}{2}$或$x=\frac {4a-4}{2a+1}$.$\because x=\frac {4a-4}{2a+1}=2-\frac {6}{2a+1}$，a是整数，
∴当$2a+1$是6的因数时，$\frac {4a-4}{2a+1}$是整数，
$\therefore 2a+1=-6$或$2a+1=-3$或$2a+1=-2$或$2a+1=-1$或$2a+1=1$或$2a+1=2$或$2a+1=3$或$2a+1=6$，
解得$a=-\frac {7}{2}$或$a=-2$或$a=-\frac {3}{2}$或$a=-1$或$a=0$或$a=\frac {1}{2}$或$a=1$或$a=\frac {5}{2}$.
$\because a$是整数，$\therefore a=-2$或$a=-1$或$a=0$或$a=1$.
思路引导
(1)分一次函数和二次函数两种情况分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；
(2)明确整点的定义是正确解答的前提，解答时分当$a=-\frac {1}{2}$时和当$a≠-\frac {1}{2}$时讨论.

14. 整体思想(2024·云南中考)已知抛物线$y = x^{2}+bx - 1的对称轴是直线x= \frac{3}{2}$.设$m是抛物线y = x^{2}+bx - 1与x$轴交点的横坐标,记$M= \frac{m^{5}-33}{109}$.
(1)求$b$的值；-3
(2)比较$M与\frac{\sqrt{13}}{2}$的大小.当$m=\frac {3+\sqrt {13}}{2}$时，$M＞\frac {\sqrt {13}}{2}$；当$m=\frac {3-\sqrt {13}}{2}$时，$M＜\frac {\sqrt {13}}{2}$

答案：
(1)
∵抛物线$y=x^{2}+bx-1$的对称轴是直线$x=\frac {3}{2}$，
$\therefore -\frac {b}{2}=\frac {3}{2}$，解得$b=-3$.
(2)
∵m是抛物线$y=x^{2}-3x-1$与x轴交点的横坐标，
$\therefore 0=m^{2}-3m-1$，$\therefore m^{2}=3m+1$，$\therefore m^{5}=(m^{2})^{2}\cdot m=(3m+1)^{2}\cdot m=(9m^{2}+6m+1)\cdot m=[9(3m+1)+6m+1]\cdot m=(27m+9+6m+1)\cdot m=(33m+10)\cdot m=33m^{2}+10m=33(3m+1)+10m=99m+33+10m=109m+33$，
$\therefore M=\frac {m^{5}-33}{109}=\frac {109m+33-33}{109}=m$.
由$0=m^{2}-3m-1$，可得$m=\frac {3\pm \sqrt {13}}{2}$，
当$m=\frac {3+\sqrt {13}}{2}$时，$M-\frac {\sqrt {13}}{2}=m-\frac {\sqrt {13}}{2}=\frac {3+\sqrt {13}}{2}-\frac {\sqrt {13}}{2}=\frac {3}{2}＞0$，即$M＞\frac {\sqrt {13}}{2}$；
当$m=\frac {3-\sqrt {13}}{2}$时，$M-\frac {\sqrt {13}}{2}=m-\frac {\sqrt {13}}{2}=\frac {3-\sqrt {13}}{2}-\frac {\sqrt {13}}{2}=\frac {3-2\sqrt {13}}{2}=\frac {3}{2}-\sqrt {13}＜0$，即$M＜\frac {\sqrt {13}}{2}$.
综上，当$m=\frac {3+\sqrt {13}}{2}$时，$M＞\frac {\sqrt {13}}{2}$；当$m=\frac {3-\sqrt {13}}{2}$时，$M＜\frac {\sqrt {13}}{2}$.