《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 新情境 判断问题答案 (2025·江苏连云港期中)老师出示问题:“解方程$x^{2}-1= 0$.”四位同学给出了以下答案:甲:“$x= 1$”;乙:“$x_{1}= x_{2}= 1$”;丙:“$x_{1}= x_{2}= -1$”;丁:“$x_{1}= 1,x_{2}= -1$”.下列判断正确的是(D).
A. 甲正确
B. 乙正确
C. 丙正确
D. 丁正确

答案： D

2. 若一元二次方程$(x+6)^{2}= 64$可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是$x+6= 8$,则另一个一元一次方程是(D).
A. $x-6= -8$
B. $x-6= 8$
C. $x+6= 8$
D. $x+6= -8$

答案： D

3. 若关于x的方程$(x-2)^{2}= m+1$有实数根,则m的取值范围是(D).
A. $m＞1$
B. $m＞-1$
C. $m≥1$
D. $m≥-1$

答案： D [解析]
∵关于x的方程$(x-2)^{2}=m+1$有实数根,
$\therefore m+1≥0$,解得$m≥-1$.故选 D.

4. (2025·上海杨浦区期中)方程$3(x+2)^{2}= 24$的解是$x_{1}=2\sqrt {2}-2,x_{2}=-2\sqrt {2}-2$.

答案： $x_{1}=2\sqrt {2}-2,x_{2}=-2\sqrt {2}-2$[解析]$∵3(x+2)^{2}=24,$
$\therefore (x+2)^{2}=8,\therefore x+2=\pm 2\sqrt {2},$
解得$x_{1}=2\sqrt {2}-2,x_{2}=-2\sqrt {2}-2.$
归纳总结 形如$x^{2}=p(p≥0)$或$(mx+n)^{2}=p(p≥0)$的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解.如果方程能化成$x^{2}=p(p≥0)$的形式,那么$x=\pm \sqrt {p}$;如果方程能化成$(mx+n)^{2}=p(p≥0)$的形式,那么$mx+n=\pm \sqrt {p}.$

5. 教材P6练习·变式 用直接开平方法解下列方程:
(1)$(x-2)^{2}= 3;$
直接开平方,得$x-2=\pm \sqrt {3},$$\therefore x_{1}=2+\sqrt {3},x_{2}=2-\sqrt {3}.$
(2)$9(y+4)^{2}-49= 0;$
$\because 9(y+4)^{2}-49=0,\therefore (y+4)^{2}=\frac {49}{9},$$\therefore y+4=\pm \frac {7}{3},\therefore y_{1}=-\frac {5}{3},y_{2}=-\frac {19}{3}.$
(3)$(4x-1)^{2}= 225;$
$\because (4x-1)^{2}=225,\therefore 4x-1=\pm 15,$解得$x_{1}=4,x_{2}=-3.5.$
(4)$4x^{2}+1= -4x.$
$\because 4x^{2}+1=-4x,\therefore 4x^{2}+4x+1=0,\therefore x^{2}+x+\frac {1}{4}=0,$即$(x+\frac {1}{2})^{2}=0,\therefore x_{1}=x_{2}=-\frac {1}{2}.$
知识拓展 用直接开平方的方法解一元二次方程:①等号左边是一个完全平方式,而等号右边是一个非负数;②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程;③方法是根据平方根的意义开平方.

答案：
(1)直接开平方,得$x-2=\pm \sqrt {3},$
$\therefore x_{1}=2+\sqrt {3},x_{2}=2-\sqrt {3}.$
(2)$\because 9(y+4)^{2}-49=0,\therefore (y+4)^{2}=\frac {49}{9},$
$\therefore y+4=\pm \frac {7}{3},\therefore y_{1}=-\frac {5}{3},y_{2}=-\frac {19}{3}.$
(3)$\because (4x-1)^{2}=225,\therefore 4x-1=\pm 15,$
解得$x_{1}=4,x_{2}=-3.5.$
(4)$\because 4x^{2}+1=-4x,\therefore 4x^{2}+4x+1=0,\therefore x^{2}+x+\frac {1}{4}=0,$
即$(x+\frac {1}{2})^{2}=0,\therefore x_{1}=x_{2}=-\frac {1}{2}.$
知识拓展 用直接开平方的方法解一元二次方程:①等号左边是一个完全平方式,而等号右边是一个非负数;②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程;③方法是根据平方根的意义开平方.

6. 如图是一个简单的程序计算器,如果输出的数值为-10,那么输入x的值为(C).

A. -8
B. $2\sqrt {5}-1或-2\sqrt {5}-1$
C. $\sqrt {5}-1或-\sqrt {5}-1$
D. $\sqrt {5}-1$

答案： C

7. (湖北实验中学自主招生)定义$[x]$表示不超过实数x的最大整数,如$[1.8]= 1,[-1.4]= -2,[-3]= -3$.函数$y= [x]$的图象如图所示,已知$-2≤x＜2$,则方程$[x]= \frac {1}{2}x^{2}$的解为(A).

A. 0或$\sqrt {2}$
B. 0或1
C. 1或$-\sqrt {2}$
D. $\sqrt {2}或-\sqrt {2}$

答案： A [解析]当$1≤x＜2$时,$\frac {1}{2}x^{2}=1$,解得$x_{1}=\sqrt {2},x_{2}=$
$-\sqrt {2}$(舍去);当$0≤x＜1$时,$\frac {1}{2}x^{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=0;$
当$-1≤x＜0$时,$\frac {1}{2}x^{2}=-1$,方程没有实数解;当$-2≤$
$x＜-1$时,$\frac {1}{2}x^{2}=-2$,方程没有实数解,所以方程$[x]=$
$\frac {1}{2}x^{2}$的解为0或$\sqrt {2}$.故选 A.
易错警示 分析题意,得出$x-1＜[x]≤x$,注意是否包含等号,否则容易出错.

8. (2025·安徽合肥蜀山区期中)已知关于x的方程$a(x+m)^{2}+b= 0的解是x_{1}= 2,x_{2}= -1$(a,b,m均为常数,$a≠0$),则方程$a(x+m-2)^{2}+b= 0$的解是____$x_{1}=4,x_{2}=1$.

答案： $x_{1}=4,x_{2}=1$[解析]
∵关于x的方程$a(x+m)^{2}+b=$0的解是$x_{1}=2,x_{2}=-1$(a,b,m均为常数,$a≠0$),
∴方程$a(x+m-2)^{2}+b=0$变形为$a[(x-2)+m]^{2}+b=0,$即此方程中$x_{1}-2=2,x_{2}-2=-1$,解得$x_{1}=4,x_{2}=1.$

9. (2025·重庆北碚区朝阳中学期中)已知三角形的两边长分别为4和6,第三边的长是一元二次方程$(x-5)^{2}-9= 0$的一个根,则三角形的周长为____18.

答案： 18 [解析]$\because (x-5)^{2}-9=0,\therefore (x-5)^{2}=9,\therefore x-5=$
$\pm 3$,解得$x_{1}=2,x_{2}=8$,当第三边长为2时,$2+4=6$,不符合题意;当第三边长为8时,$4+6=10＞8$,符合题意.
根据三角形三边关系进行判断
此时周长为$8+6+4=18.$

10. 中考新考法 新定义问题 对于实数p,q,我们用符号$min\{ p,q\} $表示p,q两数中较小的数,如$min\{ 1,2\} = 1$,若$min\{ (x-1)^{2},x^{2}\} = 1$,则$x=$2或-1.

答案： 2或-1 [解析]当$(x-1)^{2}=1$时,解得$x=2$或$x=0,$当$x=0$时,$min\{ (x-1)^{2},x^{2}\} =0$,不符合题意,$\therefore x=2;$当$x^{2}=1$时,解得$x=1$或$x=-1$,当$x=1$时,$min\{ (x-$$1)^{2},x^{2}\} =0$,不符合题意,$\therefore x=-1$.综上,$x=2$或-1.