《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 教材P16例4·变式(2023·天津中考)若$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-6x-7= 0$的两个根,则(A).
A. $x_{1}+x_{2}= 6$
B. $x_{1}+x_{2}= -6$
C. $x_{1}x_{2}= \frac {7}{6}$
D. $x_{1}x_{2}= 7$

答案： A [解析] $\because x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-6x-7=0$ 的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=-7$. 故选 A.
方法诠释 若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ $(a\neq0)$ 的两根，则 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，反过来也成立，即 $\frac{b}{a}=-(x_{1}+x_{2}),\frac{c}{a}=x_{1}x_{2}$.

2. (2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5,则原来的方程是(B).
A. $x^{2}+6x+5= 0$
B. $x^{2}-7x+10= 0$
C. $x^{2}-5x+2= 0$
D. $x^{2}-6x-10= 0$

答案： B

3. 若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m= 0$两根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则m的值为(12).
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

答案： C [解析] $\because$ 一元二次方程 $x^{2}-8x+m=0$ 的两根为 $x_{1}$，$x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=8.\because x_{1}=3x_{2},\therefore 4x_{2}=8,\therefore x_{2}=2,x_{1}=6$，$\therefore m=x_{1}x_{2}=6\times2=12$. 故选 C.

4. (2023·随州中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+1= 0的两个实数根分别为x_{1}和x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$的值为____2.

答案： 2 [解析] $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-3x+1=0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3,x_{1}x_{2}=$ $\frac{1}{1}=1,\therefore x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=3-1=2$.

5. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+3-k= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;$k＞2$
(2)若方程的两个根为α,β,且$k^{2}= αβ+3k$,求k的值.3

答案：
(1) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x+3-k=0$ 有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4\times1\times(3-k)=$ $-8+4k＞0$，解得 $k＞2$.
(2) $\because$ 方程的两个根为 $\alpha,\beta,\therefore \alpha\beta=\frac{c}{a}=3-k$，
$\therefore k^{2}=3-k+3k$，解得 $k_{1}=3,k_{2}=-1$ (舍去).

6. (2024·乐山中考)若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+p= 0$两根为$x_{1},x_{2}$,且$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}= 3$,则p的值为(A).
A. $-\frac {2}{3}$
B. $\frac {2}{3}$
C. -6
D. 6

答案： A [解析] $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x+p=0$ 两根为 $x_{1},x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=-2,x_{1}x_{2}=p.\because \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=3$，$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=3$，即 $\frac{-2}{p}=3$，解得 $p=-\frac{2}{3}$. 故选 A.

7. (2023·泸州中考)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程$x^{2}-10x+m= 0$的两个实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为(C).
A. $\sqrt {3}$
B. $2\sqrt {3}$
C. $\sqrt {14}$
D. $2\sqrt {14}$

答案： C [解析] 设菱形的两条对角线长分别为 $a,b,\because$ 菱形的面积=两条对角线乘积的一半，$\therefore \frac{1}{2}ab=11$，即 $ab=22$. 由题意，得 $\left\{\begin{array}{l} a+b=10,\\ ab=22,\end{array}\right. \therefore$ 菱形的边长 $=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}=$ $\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=$ $\sqrt{14}$. 故选 C.

8. (2024·烟台中考)若一元二次方程$2x^{2}-4x-1= 0$的两根为m,n,则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为____6。

答案： 6 [解析] $\because$ 一元二次方程 $2x^{2}-4x-1=0$ 的两根为 $m,n$，$\therefore 2m^{2}-4m=1,m+n=-\frac{-4}{2}=2,mn=-\frac{1}{2},\therefore 3m^{2}-$ $4m+n^{2}=2m^{2}-4m+m^{2}+n^{2}=1+(m+n)^{2}-2mn=1+$ $2^{2}-2\times(-\frac{1}{2})=6$.

9. (2025·衡阳祁东育贤中学模拟)若关于x的一元二次方程$2x^{2}+4mx+m= 0$有两个不同的实数根$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \frac {3}{16}$,则$m=$$-\frac{1}{8}$.

答案： $-\frac{1}{8}$ [解析] $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}+4mx+m=$ 0 有两个不同的实数根 $x_{1},x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=-2m,x_{1}\cdot$ $x_{2}=\frac{m}{2},\Delta =b^{2}-4ac=(4m)^{2}-4\times2m=16m^{2}-8m＞0$. $\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{3}{16},\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=\frac{3}{16},\therefore 4m^{2}-2\times$ $\frac{m}{2}=\frac{3}{16},\therefore (8m-3)(8m+1)=0$，解得 $m_{1}=\frac{3}{8},m_{2}=$ $-\frac{1}{8}$. 当 $m_{1}=\frac{3}{8}$ 时，$\Delta =16\times\frac{9}{64}-8\times\frac{3}{8}=-\frac{3}{4}＜0$，不符合题意，舍去；当 $m_{2}=-\frac{1}{8}$ 时，$\Delta =16\times\frac{1}{64}-8\times(-\frac{1}{8})=$ $\frac{5}{4}＞0$，符合题意. 综上，$m=-\frac{1}{8}$.

10. (陕西西安交大附中少年班自主招生)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(n+2)x-2n^{2}= 0的解为a_{n},b_{n}$,求$\frac {2}{(a_{1}-2)(b_{1}-2)}+\frac {2}{(a_{2}-2)(b_{2}-2)}+…+\frac {2}{(a_{2024}-2)(b_{2024}-2)}$的值.

答案： $\because x^{2}-(n+2)x-2n^{2}=0$ 的解为 $a_{n},b_{n}$，
$\therefore a_{n}+b_{n}=n+2,a_{n}b_{n}=-2n^{2}$.
$\therefore \frac{2}{(a_{n}-2)(b_{n}-2)}=\frac{2}{a_{n}b_{n}-2(a_{n}+b_{n})+4}$
$=\frac{2}{-2n^{2}-2(n+2)+4}=-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$.
$\therefore \frac{2}{(a_{1}-2)(b_{1}-2)}+\frac{2}{(a_{2}-2)(b_{2}-2)}+\cdots+\frac{2}{(a_{2024}-2)(b_{2024}-2)}$
$=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2024}=$
$\frac{1}{2025}-1=-\frac{2024}{2025}$.
中高考趋势 本题体现了新高考趋势中对数学核心素养的综合考查，包括代数变形、数列求和及逻辑推理能力等. 结合二次方程、代数变形及数列求和，体现知识点的整合；通过裂项法简化求和，减少繁琐运算，强调逻辑推导；考查数学抽象、运算能力和模型思想，符合新高考对核心素养的重视.