《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

5. 中考新考法 操作探究 如图,$\odot O$为等边三角形ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧$\widehat {AB}$上运动(不与点A,B重合),连接DA,DB,DC.
(1)求证:DC是$∠ADB$的平分线.
(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗? 如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由.
(3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,$△DMN$的周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值.

答案：

(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°。
∵∠ADC=∠ABC=60°，∠BDC=∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠BDC。
∴DC是∠ADB的平分线。
(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，解析式为S=√3/4x²(2√3＜x≤4)。理由如下：
如图
(1)，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
∴CD=CH，∠DAC=∠HBC。
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°。
∴∠DBC+∠HBC=180°。
∴点D，B，H三点共线。
∵DC=CH，∠CDH=60°，
∴△DCH是等边三角形。
∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH=√3/4CD²，
∴S=√3/4x²(2√3＜x≤4)。

(3)如图
(2)，作点D关于直线AC的对称点E，关于直线BC的对称点F。
∵点D，E关于直线AC对称，
∴EM=DM。同理，得DN=NF。
∵C△DMN=DM+DN+MN=EM+FN+MN≥EF，
∴当点E，M，N，F四点共线时，△DMN的周长有最小值EF。连接CE，CF，DE，DF，过点C作CP⊥EF于点P。
∵点D，E关于直线AC对称，
∴CE=CD，∠ACE=∠ACD。
∵点D，F关于直线BC对称，
∴CF=CD，∠DCB=∠FCB。
∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°。
∵CP⊥EF，CE=CF，∠ECF=120°，
∴EP=PF，∠CEP=30°。
∴PC=1/2EC，PE=√3/2EC。
∴EF=2PE=√3EC=√3CD=t。
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值。
∵CD为⊙O的弦，
∴当CD为直径时，CD有最大值4。
∴t的最大值为4√3。

6. 中考新考法 项目式学习 (2025·广东江门恩平期末)根据以下素材,探索完成任务.

答案：
任务一：√5/2 [解析]
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴BG是该圆的直径。
∵在Rt△ABG中，AB=2cm，AG=1cm，
∴BG=√(AB²+AG²)=√(2²+1²)=√5(cm)，
∴1/2BG=√5/2cm，
∴该圆的半径为√5/2cm。
任务二：如图，设圆心为点O，作OH⊥AE于点H，交BF于点K，连接OE，OF，
∵四边形ABCD是矩形，AB=2cm，AE=4cm，BF=5cm，

OH⊥AE，
∴∠AHK=∠A=∠B=90°，AH=EH=1/2AE=2cm，
∴四边形ABKH是正方形，
∴∠BKH=90°，HK=AB=2cm，BK=AH=2cm，
∴∠OKF=∠OHE=90°，FK=BF−BK=5−2=3(cm)。
∵OE=OF，
∴EH²+OH²=OE²=OF²=FK²+OK²，
∴2²+(OK+2)²=3²+OK²，解得OK=1/4，
∴OF=√(OK²+FK²)=√((1/4)²+3²)=√145/4(cm)，
∴圆的半径长为√145/4cm。

7. 一题多问 (2025·河南三门峡灵宝期中)如图,I是
$△ABC$的内心,AI的延长线交$△ABC$的外接圆于点D.
(1)求证:$∠BAD= ∠CBD;$
(2)求证:$BD= ID;$
(3)连接BI,CI,求证:点D是$△BIC$的外心.

答案：

(1)
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD。
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD。
(2)如图，连接BI。
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABI=∠CBI。
又∠BAD=∠CBD，∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD。
(3)如图，连接BI，CI，DC。
∵∠BAD=∠CAD，
∴⌢BD=⌢CD，
∴BD=CD。
又BD=ID，
∴BD=CD=ID，
∴点D是△BIC的外心。