《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,等边三角形 $ ABC $ 的边长为 4,点 $ O $ 是 $ △ABC $ 的中心,$ ∠FOG = 120^{\circ} $,绕点 $ O $ 旋转 $ ∠FOG $,分别交线段 $ AB $,$ BC $ 于 $ D $,$ E $ 两点,连接 $ DE $,给出下列四个结论：① $ OD = OE $；② $ S_{△ODE} = S_{△BDE} $；③ 四边形 $ ODBE $ 的面积始终等于 $ \frac{4\sqrt{3}}{3} $；④ $ △BDE $ 周长的最小值为 6。上述结论中正确的个数是( )。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
C [解析]如图,连接OB,OC,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵点O是△ABC的中心,
∴OB=OC,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°,
∴∠BOC=120°,即∠BOE+∠COE=120°.
∵∠DOE=120°,即∠BOE+∠BOD=120°,
∴∠BOD=∠COE.
在△BOD和△COE中，{∠BOD=∠COE，BO=CO，∠OBD=∠OCE}
∴△BOD≌△COE，
∴BD=CE，OD=OE，故①正确;
∴$S_{△BOD}=S_{△COE}，$
∴四边形ODBE的面积$=S_{△BOC}=1/3 S_{△ABC}=1/3×√3/4×4²=4√3/3，$故③正确;
过点O作OH⊥DE，则DH=EH.
∵∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OEH=30°，
∴OH=1/2 OE，
∴HE=√3 OH=√3/2 OE，
∴DE=√3 OE，
∴$S_{△ODE}=1/2·1/2 OE·√3 OE=√3/4 OE²，$
即$S_{△ODE}$随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，
∴$S_{△ODE}≠S_{△BDE}，$故②错误;
∵BD=CE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+√3 OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，利用勾股定理可求出此时OE=2√3/3，
∴△BDE周长的最小值为4+2=6，故④正确.故选C.

2. 已知 $ △AOB $ 和 $ △MON $ 都是等腰直角三角形 $ (\frac{\sqrt{2}}{2}OA ＜ OM ＜ OA) $,$ ∠AOB = ∠MON = 90^{\circ} $。
(1) 如图(1),连接 $ AM $,$ BN $,求证：$ AM = BN $；
(2) 将 $ △MON $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转。
① 如图(2),当点 $ M $ 恰好在边 $ AB $ 上时,求证：$ AM^{2} + BM^{2} = 2OM^{2} $；
② 当点 $ A $,$ M $,$ N $ 在同一条直线上时,若 $ OA = 4 $,$ OM = 3 $,请直接写出线段 $ AM $ 的长。

答案：

(1)
∵∠AOB=∠MON=90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，即∠AOM=∠BON.
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OM=ON，
∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴AM=BN.
(2)①如图
(1)，连接BN，
∵∠AOB=∠MON=90°，
∴∠AOB−∠BOM=∠MON−∠BOM，即∠AOM=∠BON.
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA=OB，OM=ON，∠A=∠ABO=45°，

∴△AOM≌△BON(SAS)，
∴∠A=∠NBO=45°，AM=BN.
∴∠MBN=90°，
∴MB²+BN²=MN².
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN²=2OM²，
∴AM²+BM²=2OM².
②如图
(2)，当点N在线段AM上时，连接BN，
设BN=x，
由
(1)可知△AOM≌△BON，可得AM=BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN²+BN²=AB².
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=4，OM=3，
∴MN=3√2，AB=4√2，
∴(x−3√2)²+x²=(4√2)²，
解得x=(√46+3√2)/2(负值已舍去)，
∴AM=BN=(√46+3√2)/2;
如图
(3)，当点M在线段AN上时，连接BN，
设BN=y，
由
(1)可知△AOM≌△BON，
可得AM=BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN²+BN²=AB².
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=4，OM=3，
∴MN=3√2，AB=4√2，
∴(y+3√2)²+y²=(4√2)²，
解得y=(√46−3√2)/2(负值已舍去)，
∴AM=BN=(√46−3√2)/2.
综上所述，线段AM的长为(√46+3√2)/2或(√46−3√2)/2.