《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

4. (2025·河南郑州期末)某校羽毛球馆有一架高度可调的羽毛球发球机,如图(1),发球机固定在地面点O处,其弹射出口记为点A,羽毛球的运动路径呈抛物线状,如图(2),设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x(米),到地面的高度为y(米),y与x的部分对应数据如表所示.
|x/米|…|1.8|2|2.2|2.4|2.6|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|y/米|…|2.24|2.25|2.24|2.21|2.16|…|
(1)求y与x的函数解析式.
(2)求羽毛球的落地点B到点O的水平距离为5米.
(3)调整弹射出口A的高度可以改变球的落地点,为了训练学员的后场能力,需要使羽毛球落地点到点O的水平距离增加1米.若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变,则发球机的弹射口高度OA应调整为3米.

答案：
(1) 由表格信息可知，抛物线的顶点为 $ (2, 2.25) $，$ \therefore $ 可设抛物线的函数表达式为 $ y = a(x - 2)^2 + 2.25 $。$ \because $ 图象过点 $ (2.2, 2.24) $，$ \therefore 2.24 = a(2.2 - 2)^2 + 2.25 $，解得 $ a = -0.25 $，$ \therefore y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = -0.25(x - 2)^2 + 2.25 $。
(2) 当 $ y = 0 $ 时，$ 0 = -0.25(x - 2)^2 + 2.25 $，解得 $ x_1 = 5 $，$ x_2 = -1 ＜ 0 $（负值，舍去），$ \therefore $ 羽毛球的落地点 $ B $ 到发球机点 $ O $ 的水平距离为 $ 5 $ 米。
(3) $ \because $ 抛物线的形状和对称轴位置都不变，$ \therefore $ 可设抛物线的函数表达式为 $ y = -0.25(x - 2)^2 + k $。$ \because $ 要使发射出的羽毛球落地点到 $ O $ 点的水平距离增加 $ 1 $ 米，$ \therefore $ 当 $ y = 0 $ 时，$ x = 5 + 1 = 6 $，$ \therefore 0 = -0.25 \times (6 - 2)^2 + k $，解得 $ k = 4 $，$ \therefore y = -0.25(x - 2)^2 + 4 $，当 $ x = 0 $ 时，$ y = -0.25 \times (0 - 2)^2 + 4 = 3 $。故发球机的弹射口高度 $ OA $ 应调整为 $ 3 $ 米。

5. 方程思想(2025·上海浦东新区期末)一经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租.已知铺面两面靠墙,墙长分别为8米和30米,三间商铺都在沿街开一个1米宽的门.经营者共用去板材45米(不计损耗).
(1)若三间商铺总面积为$180m^2,$求每间商铺的长和宽分别是多少?
(2)小王作为个体经商户,希望同时租下三间铺面开设不同的商铺,但要求在不增加板材的基础上,使这三间商铺的总面积达到最大.已知商铺的租金为每月每平方米200元,请问小王每月需要付给经营者多少租金?

(1) 设垂直于 30 米墙的一边长 x 米，则 GB = BD = DF = \frac{45 + 3 - 3x}{3} = (16 - x) 米，由题意，得 3x(16 - x) = 180，整理得 x² - 16x + 60 = 0，解得 x₁ = 10，x₂ = 6。由题意，得 $\begin{cases} x \leq 8, \\ 16 - x \leq \frac{30}{3}, \end{cases}$ 解得 6 ≤ x ≤ 8。∴ x = 6，∴ 16 - x = 10。故每间商铺的长为10米，宽为6米。
(2) 设三间商铺的总面积为 y 平方米，则 y = 3x(16 - x) = -3x² + 48x，∴ 抛物线的开口向下，对称轴为直线 x = 8。∵ 6 ≤ x ≤ 8，∴ 当 x = 8 时，y 最大，最大值为192，∴ 总的租金为192× 200 = 38400（元）。故小王每月需要付给经营者38400元租金。
### 易错警示
本题考查二次函数的应用。用代数式表示出每个小矩形的长容易出错，应加以注意。

答案：
(1) 设垂直于 $ 30 $ 米墙的一边长 $ x $ 米，则 $ GB = BD = DF = \frac{45 + 3 - 3x}{3} = (16 - x) $ 米，由题意，得 $ 3x(16 - x) = 180 $，整理得 $ x^2 - 16x + 60 = 0 $，解得 $ x_1 = 10 $，$ x_2 = 6 $。由题意，得 $ \begin{cases} x \leq 8, \\ 16 - x \leq \frac{30}{3}, \end{cases} $ 解得 $ 6 \leq x \leq 8 $。$ \therefore x = 6 $，$ \therefore 16 - x = 10 $。故每间商铺的长为 $ 10 $ 米，宽为 $ 6 $ 米。
(2) 设三间商铺的总面积为 $ y $ 平方米，则 $ y = 3x(16 - x) = -3x^2 + 48x $，$ \therefore $ 抛物线的开口向下，对称轴为直线 $ x = 8 $。$ \because 6 \leq x \leq 8 $，$ \therefore $ 当 $ x = 8 $ 时，$ y $ 最大，最大值为 $ 192 $，$ \therefore $ 总的租金为 $ 192 \times 200 = 38400 $（元）。故小王每月需要付给经营者 $ 38400 $ 元租金。
### 易错警示
本题考查二次函数的应用。用代数式表示出每个小矩形的长容易出错，应加以注意。