《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·陕西西安雁塔区高新一中期末)如图,$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{BC}$,且$∠AOB= 120^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为(B)。
A. $90^{\circ}$
B. $80^{\circ}$
C. $70^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： B

2. (2025·浙江宁波鄞州区期末)如图,$AB是⊙O$的弦,分别以点$A$,$B$为圆心,同样长度为半径画圆弧交圆内于点$C$,连接$OC并延长交⊙O于点D$,连接$OA$,$OB$。
(1)求证：$∠AOD= ∠BOD$；
(2)若$∠AOD:∠AOB= 3:2$,$AB= 4\sqrt{2}$,$CD= OC$,求$CD$的长。

答案：

(1)如图，连接AC，BC.
由条件可知 $ AC = BC $，
又 $ AO = BO $，$ OC = OC $，
$ \therefore \triangle AOC \cong \triangle BOC(SSS) $，
$ \therefore \angle AOD = \angle BOD $.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)由条件可知 $ \angle AOD = \angle BOD = \frac{3}{2} \angle AOB $，
$ \because \angle AOB + \angle AOD + \angle BOD = 360^{\circ} $，
$ \therefore \angle AOB + \frac{3}{2} \angle AOB + \frac{3}{2} \angle AOB = 360^{\circ} $，
解得 $ \angle AOB = 90^{\circ} $.
$ \because AO = BO $，$ \therefore \triangle AOB $ 为等腰直角三角形，
$ \therefore AO^{2} + BO^{2} = AB^{2} = 32 $，$ \therefore AO = BO = 4 $.
$ \because CD = OC $，$ \therefore CD = \frac{1}{2} OD = \frac{1}{2} OA = 2 $.

3. 新情境 量角器与三角尺 (2025·江苏常州期末)如图,将一块三角尺放置在量角器上,使$30^{\circ}角的顶点A$恰好落在量角器的圆弧上,一条直角边与斜边分别与圆弧交于点$B$,$C$,则$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的大小为60$^{\circ}$。

答案： 60

4. 中考新考法 尺规作图 (2025·江苏宿迁宿城区期末)已知$P是⊙O$上一点,在$⊙O上作两点A$,$B$,使得$∠APB$分别满足以下条件：(说明：第(1)题只用无刻度的直尺作图,第(2)题只用圆规作图；保留作图痕迹,不写作法)
(1)在图(1)中,$∠APB= 90^{\circ}$；
(2)在图(2)中,$∠APB= 30^{\circ}$。

答案：

(1)过圆心O，作一条直径，交 $ \odot O $ 于A，B两点，如图
(1)，A，B即为所求.
　　　　
(2)在圆上选一点A，以A为圆心，OA的长为半径画弧，交 $ \odot O $ 于点B，如图
(2)，A，B即为所求.

5. (2025·北京朝阳区期中)如图,在$⊙O$中,弦$AB$,$CD相交于点E$,$∠AEC= 74^{\circ}$,$∠ABD= 36^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为______$140^{\circ}$。

答案： $ 140^{\circ} $

6. (2025·江苏南京建邺区期末)如图,在$⊙O$中,弦$AC$,$BD相交于点M$,且$AM= BM$。求证：$CM= DM$。

答案：
如图，连接CD.
$ \because AM = BM $，
$ \therefore \angle A = \angle B $.
由圆周角定理，得 $ \angle D = \angle A $，
$ \angle C = \angle B $，
$ \therefore \angle C = \angle D $，
$ \therefore CM = DM $.