《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

8. 将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起,如图$(1),∠O= 90^{\circ},∠A= 30^{\circ},∠E= 45^{\circ},OD＞OC.$在两三角板所在平面内,将三角板DOE绕点O按顺时针方向旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$到三角板$D_1OE_1$的位置,使$OD_1// AC,$如图(2).(1)求$\alpha$的值;30°(2)如图(3),继续将三角板DOE绕点O按顺时针方向旋转,使点E落在边AC上点$E_2$处,点D落在点$D_2$处,设$E_2D_2$交$OD_1$于点$G,OE_1$交AC于点H,若点G是$E_2D_2$的中点,试判断四边形$OHE_2G$的形状,并说明理由.正方形

答案：
(1)
∵OD₁//AC，
∴∠AOD₁=∠A=30°。
∵将三角板DOE绕点O按顺时针方向旋转α(0°＜α＜90°)到三角板D₁OE₁的位置，
∴∠AOD₁=α=30°。
(2)四边形OHE₂G是正方形。理由如下：
∵∠E₂OD₂=90°，OD₂=OE₂，点G是E₂D₂的中点，
∴E₂G=OG，E₂G⊥OG。
∵OD₁//AC，
∴∠GOH=∠AHO=90°，∠OGE₂=∠HE₂G=90°，
∴四边形OHE₂G是矩形。
又E₂G=OG，
∴四边形OHE₂G是正方形。

9. 分类讨论思想如图,点$O是等边三角形ABC$内一点,$∠AOB= 110^{\circ}$,$∠BOC= \alpha$,将$\triangle BOC绕点C按顺时针方向旋转60^{\circ}得到\triangle ADC$,连接$OD$.填空:
(1)线段$OD与OC$的数量关系为____OC=OD;
(2)当$\alpha=150^{\circ}$时,试判断$\triangle AOD$的形状,并说明理由;
△AOD是直角三角形。理由如下：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°。∴∠ADC=∠BOC=150°，OC=CD。∴△COD是等边三角形。∴∠ODC=60°。∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=90°。∴△AOD是直角三角形。
(3)直接写出当$\alpha$为多少度时,$\triangle AOD$为等腰三角形.110°或125°或140°

答案：
(1)OC=OD
(2)△AOD是直角三角形。理由如下：
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°。
∴∠ADC=∠BOC=150°，OC=CD。
∴△COD是等边三角形。
∴∠ODC=60°。
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=90°。
∴△AOD是直角三角形。
(3)
∵∠AOB=110°，∠BOC=α，
∴∠AOC=360°−110°−α=250°−α。
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°。
∴∠AOD=∠AOC−∠DOC=190°−α。
∵∠ADC=∠BOC=α，
∴∠ODA=α−60°。
∵△AOD为等腰三角形，
∴①当AO=OD时，∠OAD=∠ODA，
则∠AOD+2∠ODA=180°，即(190°−α)+2×(α−60°)=180°，解得α=110°；
②当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，
即190°−α=α−60°，解得α=125°；
③当OD=AD时，∠OAD=∠AOD，
则2∠AOD+∠ODA=180°，即2×(190°−α)+(α−60°)=180°，解得α=140°。
综上所述，当α为110°或125°或140°时，△AOD为等腰三角形。

10. (2024·北京中考)已知$∠MAN= \alpha(0^{\circ}＜\alpha＜45^{\circ})$,点$B$,$C分别在射线AN$,$AM$上,将线段$BC绕点B顺时针旋转180^{\circ}-2\alpha得到线段BD$,过点$D作AN的垂线交射线AM于点E$.
(1)如图(1),当点$D在射线AN$上时,求证:$C是AE$的中点;
(2)如图(2),当点$D在∠MAN$内部时,作$DF// AN$,交射线$AM于点F$,用等式表示线段$EF与AC$的数量关系,并证明.

答案：

(1)如图
(1)，连接CD，
由题意，得BC=BD，∠CBD=180°−2α，
∴∠BDC=∠BCD。
∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°，
∴∠BDC=$\frac{180°−(180°−2α)}{2}=α$，
∴∠BDC=∠A，
∴CA=CD。
∵DE⊥AN，
∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°，
∴∠1=∠2，
∴CD=CE，
∴CA=CE，
∴点C是AE的中点。

(2)EF=2AC。证明如下：
如图
(2)，在射线AM上取点H，使得BH=BA，取EF的中点G，连接DG，
∵BH=BA，
∴∠BAH=∠BHA=α，
∴∠ABH=180°−2α=∠CBD，
∴∠ABC=∠HBD。
∵BC=BD，
∴△ABC≌△HBD(SAS)，
∴AC=DH，∠BHD=∠A=α，
∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α。
∵DF//AN，
∴∠EFD=∠A=α，∠EDF=∠3=90°。
∵G是EF的中点，
∴GF=GD，EF=2GD，
∴∠GFD=∠GDF=α，
∴∠HGD=2α，
∴∠HGD=∠FHD，
∴DG=DH。
∵AC=DH，
∴DG=AC，
∴EF=2AC。