《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. 教材P17习题T13·变式(2025·河南郑州期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+2m= 0.$
(1)求证:无论m取任何实数,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形的一边长为3,另两边长恰好是这个方程的两个根,求m的值.

答案：
(1)$\Delta = [-(m + 2)]^{2}-4\times1\cdot2m=(m - 2)^{2}$.
$\because (m - 2)^{2}\geqslant0$，即$\Delta\geqslant0$，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根.
(2)$x^{2}-(m + 2)x + 2m = 0$，$a = 1$，$b = -(m + 2)$，$c = 2m$.
由
(1)得$\Delta=(m - 2)^{2}$，$\therefore x=\frac{m + 2\pm(m - 2)}{2}$.
∴方程的两根为$x_{1}=m$，$x_{2}=2$.
若$x_{1}\neq x_{2}$，则$x_{1}=3$；若$x_{1}=x_{2}$，则$x_{1}=2$，两种情况都符
用三角形三边关系验证
合题意，
∴m的值为3或2.

12. (2025·北京东城区汇文中学期中)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}+m-2= 0$有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为符合条件的最大整数,求方程的解.

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx + m^{2}+m - 2 = 0$有实数根，
$\therefore \Delta\geqslant0$，$\therefore 4m^{2}-4(m^{2}+m - 2)\geqslant0$，$\therefore m\leqslant2$.
(2)$\because m\leqslant2$，
∴m的最大整数为2，
∴方程为$x^{2}+4x + 4 = 0$，$(x + 2)^{2}=0$，$\therefore x_{1}=x_{2}=-2$.

13. 对于任意一个三位数k,如果k满足各个数位上的数字都不为零,且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍,那么称这个数为“喜鹊数”.例如：$k= 169$,因为$6^{2}= 4×1×9$,所以169是“喜鹊数”.
(1)已知一个“喜鹊数”为$k= 100a+10b+c(1≤a,b,c≤9$,其中a,b,c为正整数),请直接写出a,b,c所满足的关系式:$b^{2}-4ac = 0$;判断241不是“喜鹊数”(填“是”或“不是”),并直接写出最小的“喜鹊数”121.
(2)利用(1)中“喜鹊数”k中的a,b,c构造两个一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$①与$cx^{2}+bx+a= 0$②,若$x= m$是方程①的一个根,$x= n$是方程②的一个根,求m与n满足的关系式.
(3)在(2)的条件下,且$m+n= -2$,请直接写出满足条件的所有k的值.121，242，363，484

答案：
(1)$b^{2}-4ac = 0$ 不是 121 [解析]
∵$k = 100a + 10b + c$是喜鹊数，$\therefore b^{2}=4ac$，即$b^{2}-4ac = 0$.
$\because 4^{2}=16$，$4\times2\times1 = 8$，$16\neq8$，
∴241不是“喜鹊数”.
∵各个数位上的数字都不为零，十位上数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4.
$\because 2^{2}=4$，$4\times1\times1 = 4$，
∴最小的“喜鹊数”是121.
(2)
∵$x = m$是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个根，$x = n$是一元二次方程$cx^{2}+bx + a = 0$的一个根，
$\therefore am^{2}+bm + c = 0$，$cn^{2}+bn + a = 0$.
将$cn^{2}+bn + a = 0$两边同除以$n^{2}$，得$a(\frac{1}{n})^{2}+b(\frac{1}{n})+$
前提是确保n不为0
$c = 0$，
∴将$m$，$\frac{1}{n}$看成是方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根.
$\because b^{2}-4ac = 0$，
∴方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个相等的实数根，$\therefore m=\frac{1}{n}$，即$mn = 1$.
(3)$\because m + n = - 2$，$mn = 1$，$\therefore m = - 1$，$n = - 1$，
$\therefore a - b + c = 0$，$\therefore b = a + c$.
$\because b^{2}=4ac$，$\therefore (a + c)^{2}=4ac$，解得$a = c$，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484.

14. (2024·南充中考)已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1= 0$的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若$k＜5$,且$k,x_{1},x_{2}$都是整数,求k的值.

答案：
(1)
∵原方程有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta＞0$，
$\therefore \Delta=(-2k)^{2}-4\times1\times(k^{2}-k + 1)=4k^{2}-4k^{2}+4k - 4 = 4k - 4＞0$，解得$k＞1$.
(2)$\because 1＜k＜5$，且k为整数，
∴整数k的值为2，3，4.
当$k = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 3 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
当$k = 3$或4时，此时方程的解不是整数.
综上所述，k的值为2.