《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·湖北武汉洪山区期中)如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+2= 0$的一个解是x= -1,那么代数式$2022-a+b$的值为____2024.

答案： 2024 [解析]把$x=-1$代入方程$ax^{2}+bx+2=0$，得$a-b+2=0$，所以$a-b=-2$，所以$2022-a+b=2022-(a-b)=2022+2=2024$。

2. 已知$x= 1是一元二次方程ax^{2}+bx-20= 0$的一个解,且$a≠b$,求$\frac {a^{2}-b^{2}}{2a-2b}$的值.
把$x=1$代入方程，得$a+b=20$。
又$a≠b$，所以$\frac {a^{2}-b^{2}}{2a-2b}=\frac {(a+b)(a-b)}{2(a-b)}=\frac {a+b}{2}=\frac {20}{2}=10$。

答案： 把$x=1$代入方程，得$a+b=20$。
又$a≠b$，所以$\frac {a^{2}-b^{2}}{2a-2b}=\frac {(a+b)(a-b)}{2(a-b)}=\frac {a+b}{2}=\frac {20}{2}=10$。
### 思路引导
利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出关于所找到的相等关系的形式，最后把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值。

3. (2025·辽宁丹东期末)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定,要求同学们现学现用,更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程$cx^{2}+bx+a= 0是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的倒方程,其中a,b,c为常数(且$a,c≠0$).根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程$-4x^{2}+3x+1= 0$的倒方程是$x^{2}+3x-4=0$；
(2)若$x= -1是一元二次方程x^{2}-2x+c= 0$的倒方程的解,求出c的值；
(3)若m是一元二次方程$-6x^{2}+x+1= 0$的倒方程的一个实数根,则$m^{3}+m^{2}-6m+2025$的值为2025.

答案：
(1)$x^{2}+3x-4=0$
(2)由题意，得方程$x^{2}-2x+c=0$的倒方程为$cx^{2}-2x+1=0$，把$x=-1$代入方程，得$c+2+1=0$，$\therefore c=-3$。
(3)2025 [解析]由题意，得方程$-6x^{2}+x+1=0$的倒方程为$x^{2}+x-6=0$。
$\because m$是方程$x^{2}+x-6=0$的一个实数根，
$\therefore m^{2}+m-6=0$，
$\therefore m^{3}+m^{2}-6m+2025=m(m^{2}+m-6)+2025=0+2025=2025$。

4. (2024·湖州一模)对于关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的根的情况,有以下四种表述：
①当$a＜0,b+c＞0,a+c＜0$时,方程一定没有实数根；
②当$a＜0,b+c＞0,b-c＜0$时,方程一定有实数根；
③当$a＞0,a+b+c＜0$时,方程一定没有实数根；
④当$a＞0,b+4a= 0,4a+2b+c= 0$时,方程一定有两个不相等的实数根.
其中表述正确的序号是(B).
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

答案： B [解析]①当$a=-1$，$b=3$，$c=-2$时，满足$a＜0$，$b+c＞0$，$a+c＜0$，此时$\Delta =3^{2}-4×(-1)×(-2)=1＞0$，即方程有两个不相等的实数根，故①错误；②$\because b+c＞0$，$b-c＜0$，$\therefore c＞0$，$\because a＜0$，$\therefore -4ac＞0$，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac＞0$，即方程有两个不相等的实数根，故②正确；③当$a=1$，$b=-1$，$c=-1$时，满足$a＞0$，$a+b+c＜0$，此时$\Delta =b^{2}-4ac=1-4×1×(-1)=5＞0$，即方程有两个不相等的实数根，故③错误；④$\because a＞0$，$b+4a=0$，$4a+2b+c=0$，$\therefore b=-4a$，$c=4a$，$\therefore \Delta =(-4a)^{2}-4×a×4a=0$，即方程有两个相等的实数根，故④错误。综上所述，正确的是②。故选B。

5. (2025·云南昆明五华区期中)若关于x的方程$\frac {1}{2}x^{2}-2kx-4k+1= 0$有两个相等的实数根,则$\frac {4k^{5}+20k^{2}+10}{k}$的值为____49.

答案： 49 [解析]根据题意得$\Delta =(-2k)^{2}-4×\frac {1}{2}×(-4k+1)=0$，$\therefore 2k^{2}=1-4k$。
$\therefore$原式$=\frac {k\cdot (2k^{2})^{2}+10×2k^{2}+10}{k}$
$=\frac {k(1-4k)^{2}+10(1-4k)+10}{k}$
$=\frac {k(1-8k+16k^{2})+10-40k+10}{k}$
$=\frac {k[1-8k+8(1-4k)]+20-40k}{k}$
$=\frac {k(1-8k+8-32k)+20-40k}{k}$
$=\frac {-40k^{2}+9k+20-40k}{k}$
$=\frac {-20(1-4k)-31k+20}{k}=\frac {49k}{k}=49$。

6. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(k+3)x+2k+2= 0$.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于-3,求k的取值范围.

答案：
(1)$\because$在方程$x^{2}-(k+3)x+2k+2=0$中，
$\Delta =[-(k+3)]^{2}-4×1×(2k+2)=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}≥0$，$\therefore$方程总有两个实数根。
(2)$\because x^{2}-(k+3)x+2k+2=0$，
$\therefore (x-2)(x-k-1)=0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=k+1$。
$\because$方程有一根小于$-3$，$\therefore k+1＜-3$，解得$k＜-4$，
$\therefore k$的取值范围为$k＜-4$。