《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

9. 如图,已知在$\odot O$中,$\widehat {AB}= \widehat {BC}= \widehat {CD}$,OC与AD相交于点E.求证:
(1)$AD// BC;$
(2)四边形BCDE为菱形.

答案：

(1)如图，连接BD。$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore \angle ADB=\angle CBD$，$\therefore AD// BC$。
(2)如图，连接CD，OB，OD，设OC，BD相交于点F。
$\because AD// BC$，$\therefore \angle EDF=\angle CBF$，$\angle DEF=\angle BCF$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore BC = CD$。
又$OB = OD$，$\therefore OC\perp BD$，$FB = FD$。
$\therefore \triangle DEF\cong\triangle BCF(AAS)$。
$\therefore FE = FC$。
$\therefore$四边形BCDE是平行四边形。
又$BD\perp CE$，$\therefore$平行四边形BCDE是菱形。

10. (2025·山东聊城期中)如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB$于点E,已知$AB= 10,AE= 8$,点P为AE上一点(点P不与A,E重合),连接CP并延长与$\odot O$交于点Q,连接QD,PD,AD.
(1)求CD的长;
(2)求证:$∠ADP= ∠ADQ.$

答案：

(1)如图，连接OC，$\because AB$是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，$\therefore CE = DE=\frac{1}{2}CD$。
$\because AB = 10$，$AE = 8$，$\therefore OC = 5$，
$BE = 2$，$\therefore OE = 3$。
在$Rt\triangle COE$中，由勾股定理，得$CE=\sqrt{OC^{2}-OE^{2}} = 4$，
$\therefore CD = 2CE = 8$。
(2)如图，连接AC，$\because AB$是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，
$\therefore AB$垂直平分CD，
$\therefore AC = AD$，$CP = DP$。
在$\triangle ACP$和$\triangle ADP$中$\begin{cases}AC = AD\\CP = DP\\AP = AP\end{cases}$，
$\therefore \triangle ACP\cong\triangle ADP(SSS)$，$\therefore \angle ADP=\angle ACP$。
$\because \overset{\frown}{AQ}=\overset{\frown}{AQ}$，$\therefore \angle ACP=\angle ADQ$，$\therefore \angle ADP=\angle ADQ$。

11. 垂径定理模型如图(1),AB为$\odot O$的直径,$CD⊥AB$于点E,$\widehat {CF}= \widehat {CB}$,BF与CD交于点G.
(1)求证:$CD= BF;$
(2)若$BE= 1,BF= 4$,求OE的长;
(3)如图(2),连接GO,OF,求证:$2∠EOG+\frac {1}{2}∠AOF= 90^{\circ }.$

答案：

(1)$\because AB$为$\odot O$的直径，$CD\perp AB$于点E，$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CB}$，$\therefore \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CF}$，即$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CD}$。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等
(2)如图
(1)，连接BC，过点O作$OH\perp BF$于H，连接OG，由
(1)得$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BD}$，$CD = BF = 4$，
$\therefore \angle FBC=\angle BCD$
圆周角定理
$\therefore BG = CG$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，$CD\perp AB$于点E，
$\therefore DE = CE=\frac{1}{2}CD = 2$。
设$EG = x$，则$BG = CG = 2 - x$，
在$\triangle BEG$中，$EG^{2}+BE^{2}=BG^{2}$，即$x^{2}+1^{2}=(2 - x)^{2}$，
解得$x=\frac{3}{4}$，$\therefore GE=\frac{3}{4}$，$\therefore BG=\frac{5}{4}$。
$\because OH\perp BF$于点H，$\therefore \angle OHB = 90^{\circ}$，$BH = FH = 2$，$\therefore GH = 2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}=GE$。
在$Rt\triangle EOG$和$Rt\triangle HOG$中，$\begin{cases}GE = GH\\OG = OG\end{cases}$，
$\therefore Rt\triangle EOG\cong Rt\triangle HOG(HL)$，$\therefore OH = OE$。
设$OE = OH = y$，则$OB = y + 1$，
在$Rt\triangle BOH$中，由勾股定理，得$(y + 1)^{2}=y^{2}+4$，
解得$y=\frac{3}{2}$，$\therefore OE$的长为$\frac{3}{2}$。
(3)如图
(2)，连接OC交BF于点I，由
(2)知$CG = BG$，$\because \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{AF}$，$\therefore \angle OBF=\frac{1}{2}\angle AOF$。
在$\triangle OCG$和$\triangle OBG$中，
$\begin{cases}OC = OB\\OG = OG\\CG = BG\end{cases}$
$\therefore \triangle OCG\cong\triangle OBG(SSS)$，
$\therefore \angle COG=\angle BOG$，$\therefore \angle IOB = 2\angle EOG$。
$\because OF = OB$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CF}$，OC为$\odot O$的半径，
$\therefore OC\perp BF$，$\therefore \angle OIB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle IOB+\angle IBO = 90^{\circ}$，$\therefore 2\angle EOG+\frac{1}{2}\angle AOF = 90^{\circ}$。

12. (2024·连云港中考)如图,AB是圆的直径,$∠1,∠2,∠3,∠4$的顶点均在AB上方的圆弧上,$∠1,∠4$的一边分别经过点A,B,则$∠1+∠2+∠3+∠4= $90$^{\circ }$.

答案： 90 [解析]$\because AB$是圆的直径，$\therefore AB$所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为$180^{\circ}$。
$\because \angle 1$，$\angle 2$，$\angle 3$，$\angle 4$所对的弧的和为半圆，$\therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$。