《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

12. 教材 P17 习题 T10·变式 分别用因式分解法和公式法求解下列方程:
$9(x-5)^{2}-24(x-5)+16= 0$.

答案： 因式分解法：
分解因式，得$[3(x - 5) - 4]^2 = 0$，
开平方，得$3(x - 5) - 4 = 0$，解得$x_1 = x_2 = \frac{19}{3}$。
公式法：
原方程整理，得$9x^2 - 114x + 361 = 0$，
$\because a = 9$，$b = -114$，$c = 361$，$\therefore b^2 - 4ac = (-114)^2 - 4\times9\times361 = 0$，$\therefore x = \frac{114 \pm \sqrt{0}}{2\times9}$，$\therefore x_1 = x_2 = \frac{19}{3}$。

13. (1)我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法,直接开平方法,配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程:
①$x^{2}-3x+1= 0$;②$(x-1)^{2}= 3$;
③$x^{2}-3x= 0$;④$x^{2}-2x= 4$.
(选择①)$\because a = 1$，$b = -3$，$c = 1$，$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 5 ＞ 0$，$\therefore x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$，$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
(选择②)开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{3}$，$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{3}$，$x_2 = 1 - \sqrt{3}$。
(选择③)分解因式，得$x(x - 3) = 0$，$\therefore x = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
(选择④)配方，得$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x - 1)^2 = 5$，开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{5}$，$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$。
(2)用指定的方法解下列一元二次方程:
①$x^{2}+3x-10= 0$(用配方法)移项，得$x^2 + 3x = 10$，配方，得$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 10 + \frac{9}{4}$，即$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{49}{4}$，开平方，得$x + \frac{3}{2} = \pm\frac{7}{2}$，解得$x_1 = -5$，$x_2 = 2$。;
②$4y^{2}-7y+2= 0$(用公式法)$\because a = 4$，$b = -7$，$c = 2$，$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×4×2 = 17 ＞ 0$，$\therefore y = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2×4}$，$\therefore y_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{8}$，$y_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{8}$。;
③$2x^{2}-7x+3= 0$(用因式分解法)分解因式，得$(x - 3)(2x - 1) = 0$，$\therefore x - 3 = 0$或$2x - 1 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{1}{2}$。.

答案：
(1) ① $\because a = 1$，$b = -3$，$c = 1$，$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\times1\times1 = 5 ＞ 0$，$\therefore x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$，$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
② 开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{3}$，$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{3}$，$x_2 = 1 - \sqrt{3}$。
③ 分解因式，得$x(x - 3) = 0$，$\therefore x = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
④ 配方，得$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$，即$(x - 1)^2 = 5$，开平方，得$x - 1 = \pm\sqrt{5}$，$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$。
(2) ① 移项，得$x^2 + 3x = 10$，配方，得$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 10 + \frac{9}{4}$，即$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{49}{4}$，开平方，得$x + \frac{3}{2} = \pm\frac{7}{2}$，解得$x_1 = -5$，$x_2 = 2$。
② $\because a = 1$，$b = -7$，$c = 2$，$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\times4\times2 = 17 ＞ 0$，$\therefore y = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2\times4}$，$\therefore y_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{8}$，$y_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{8}$。
③ 分解因式，得$(x - 3)(2x - 1) = 0$，$\therefore x - 3 = 0$或$2x - 1 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{1}{2}$。

14. 中考新考法 新定义问题 (2025·福建厦门华师希平双语学校期中)阅读材料:若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的根均为整数,则称方程为“快乐方程”.通过计算发现,任何一个“快乐方程”的判别式$Δ=b^{2}-4ac$一定为完全平方数.现规定$F(a,b,c)= \frac {4ac-b^{2}}{4a}$为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”$x^{2}-3x-4= 0$的两根均为整数,其“快乐数”$F(1,-3,-4)= \frac {4×1×(-4)-(-3)^{2}}{4×1}= -\frac {25}{4}$.
(1)“快乐方程”$x^{2}-2x-3= 0$的“快乐数”为$-4$;
(2)若关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}-2m-3= 0$(m为整数,且$1＜m＜6$)是“快乐方程”,求m的值,并求该方程的“快乐数”;
(3)若有另一个“快乐方程”$px^{2}+qx+r= 0(p≠0)$的“快乐数”$F(p,q,r)$,且满足$|r\cdot F(a,b,c)-c\cdot F(p,q,r)|= 0$,则称$F(a,b,c)与F(p,q,r)$互为“开心数”.若关于x的一元二次方程$x^{2}-mx+m+1= 0与x^{2}-(n+2)x+2n= 0$(m,n均为整数)都是“快乐方程”,且其“快乐数”互为“开心数”,求n的值.0或3

答案：
(1) $-4$
(2) $\because x^2 - (2m - 1)x + m^2 - 2m - 3 = 0$，$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 4m + 13$。
$\because 1 ＜ m ＜ 6$，$\therefore 17 ＜ 4m + 13 ＜ 37$。
又方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 - 2m - 3 = 0$是“快乐方程”，$\therefore 4m + 13 = 25$或$36$，$\therefore m = 3$或$m = \frac{23}{4}$。
$\because m$为整数，$\therefore m = 3$，$\therefore$方程为$x^2 - 5x = 0$，则$F(1, -5, 0) = \frac{4\times1\times0 - (-5)^2}{4\times1} = -\frac{25}{4}$，故其“快乐数”是$-\frac{25}{4}$。
(3) $x^2 - mx + m + 1 = 0$，$\therefore \Delta = (-m)^2 - 4(m + 1) = (m - 2)^2 - 8$。
设$\Delta = a^2$，则$(m - 2 + a)(m - 2 - a) = 8$。
又$m - 2 + a$与$m - 2 - a$同奇偶，$\therefore \begin{cases}m - 2 + a = 4\\m - 2 - a = 2\end{cases}$或$\begin{cases}m - 2 + a = 2\\m - 2 - a = 4\end{cases}$或$\begin{cases}m - 2 + a = -4\\m - 2 - a = -2\end{cases}$或$\begin{cases}m - 2 + a = -2\\m - 2 - a = -4\end{cases}$，解得$m = 5$或$m = -1$，$\therefore$方程为$x^2 - 5x + 6 = 0$或$x^2 + x = 0$。
$x^2 - (n + 2)x + 2n = 0$，$\therefore \Delta = (n - 2)^2$，$F(1, -n - 2, 2n) = \frac{4\times1\times2n - (-n - 2)^2}{4\times1} = -\frac{(n - 2)^2}{4}$。
当$m = 5$时，$F(1, -5, 6) = \frac{4\times1\times6 - (-5)^2}{4\times1} = -\frac{1}{4}$，$\because$两方程的“快乐数”互为“开心数”，$\therefore \left|-\frac{1}{4}\times2n - 6\times\left[-\frac{(n - 2)^2}{4}\right]\right| = 0$，解得$n = 3$或$n = \frac{3}{4}$（舍去）；
当$m = -1$时，$F(1, 1, 0) = \frac{4\times1\times0 - 1^2}{4\times1} = -\frac{1}{4}$，$\because$两方程的“快乐数”互为“开心数”，$\therefore \left|-\frac{1}{4}\times2n - 0\times\left[-\frac{(n - 2)^2}{4}\right]\right| = 0$，解得$n = 0$。
综上，$n$的值为0或3。