《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

8. 新情境 网络销售农产品 网络销售已经成为一种热门的销售方式,为了减少农产品的库存,某市市长亲自在某网络平台上进行直播销售某品牌板栗,为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2000元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式:$y= -100x+5000$.经销售发现,销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000kg时,每千克成本将降低1元,设板栗公司销售该板栗的日获利为w(元).
(1)求日获利w与销售单价x之间的函数关系式.
(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元?
(3)当$w≥40000$元时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg($a＜4$)的相关费用,若此时日获利的最大值为42100元,求a的值.

答案：
(1)当$y\geqslant 4000$，即$-100x+5000\geqslant 4000$时，$x\leqslant 10$，
∴当$6\leqslant x\leqslant 10$时，$w=(x-6+1)(-100x+5000)-2000=-100x^{2}+5500x-27000$；当$10＜x\leqslant 30$时，$w=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x^{2}+5600x-32000$.
综上所述，$w=\begin{cases}-100x^{2}+5500x-27000(6\leqslant x\leqslant 10),\\-100x^{2}+5600x-32000(10＜x\leqslant 30).\end{cases}$
(2)当$6\leqslant x\leqslant 10$时，$w=-100x^{2}+5500x-27000=-100(x-\frac{55}{2})^{2}+48625$.
∵$a=-100＜0$，对称轴为直线$x=\frac{55}{2}$，
∴当$6\leqslant x\leqslant 10$时，$y$随$x$的增大而增大，即当$x=10$时，$w_{最大值}=18000$；
当$10＜x\leqslant 30$时，$w=-100x^{2}+5600x-32000=-100(x-28)^{2}+46400$.
∵$a=-100＜0$，对称轴为直线$x=28$，
∴当$x=28$时，$w_{最大值}=46400$.
∵$46400＞18000$，
∴当销售单价定为$28$元$/kg$时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为$46400$元.
(3)
∵$40000＞18000$，
∴$10＜x\leqslant 30$，
则$w=-100x^{2}+5600x-32000$.
令$w=40000$，则$40000=-100x^{2}+5600x-32000$，解得$x_{1}=20$，$x_{2}=36$，
∴当$20\leqslant x\leqslant 36$时，$w\geqslant 40000$.
又$10＜x\leqslant 30$，
∴$20\leqslant x\leqslant 30$.
此时日获利$w_{1}=(x-6-a)(-100x+5000)-2000=-100x^{2}+(5600+100a)x-32000-5000a$，
∴对称轴为直线$x=-\frac{5600+100a}{2\times(-100)}=28+\frac{1}{2}a$.
∵$a＜4$，
∴$28+\frac{1}{2}a＜30$，
∴当$x=28+\frac{1}{2}a$时，$w_{最大值}=42100$.
∴$(28+\frac{1}{2}a-6-a)[-100(28+\frac{1}{2}a)+5000]-2000=42100$，解得$a_{1}=2$，$a_{2}=86$.
∵$a＜4$，
∴$a=2$.
### 归纳总结
解决最大利润问题时首先要理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.解答时要注意自变量的取值范围，若顶点不在自变量的取值范围内，则利用函数的增减性来求最值.

9. 中考新考法 利润最大化问题 (2024·烟台中考)每年5月的第三个星期日为全国助残日,2024年的主题是“科技助残,共享美好生活”.某公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅.

答案：
(1)由题意，得$y=(200-x)(60+4\times\frac{x}{10})=-0.4x^{2}+20x+12000=-0.4(x^{2}-50x+625)+12250=-0.4(x-25)^{2}+12250$.
∵$200-x\geqslant 180$，
∴$x\leqslant 20$，
∴当$x=20$时，利润最大，最大利润为$y=-0.4\times(20-25)^{2}+12250=12240$.
故$y$与$x$的函数关系式为$y=-0.4x^{2}+20x+12000$，每辆轮椅降价$20$元时，每天的销售利润最大，最大利润为$12240$元.
(2)由题意，得$12160=-0.4(x-25)^{2}+12250$，
解得$x_{1}=40$(不符合题意，舍去)，$x_{2}=10$，
∴售出轮椅的辆数为$60+4\times\frac{10}{10}=64$(辆).
故这天售出了$64$辆轮椅.