《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

6. 在平面直角坐标系中,将抛物线$y = -2x^{2}+4x$先向下平移2个单位长度,再向左平移1个单位长度,求所得的新抛物线的解析式。

答案： $ \because y = -2x^{2} + 4x = -2(x - 1)^{2} + 2 $，
$ \therefore $ 将抛物线 $ y = -2x^{2} + 4x $ 先向下平移 2 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，得到的新抛物线的解析式是 $ y = -2(x - 1 + 1)^{2} + 2 - 2 $，即 $ y = -2x^{2} $。

7. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的顶点坐标是(-2,-1)$,与$x$轴有两个交点且交点间的距离是2,求该抛物线的解析式。

答案： $ \because $ 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的顶点坐标是 $ (-2, -1) $，$ \therefore $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = -2 $。
$ \because $ 抛物线与 $ x $ 轴两个交点间的距离是 2，$ \therefore $ 抛物线与 $ x $ 轴两交点的坐标分别为 $ (-3,0) $，$ (-1,0) $。
设抛物线的解析式为 $ y = a(x + 3)(x + 1) $，
把 $ (-2, -1) $ 代入，得 $ a \times (-2 + 3) \times (-2 + 1) = -1 $，解得 $ a = 1 $，$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = (x + 3)(x + 1) = x^{2} + 4x + 3 $。

8. 求与抛物线$y = 2x^{2}-4x - 3关于x$轴对称的抛物线的解析式。

答案： $ \because y = 2x^{2} - 4x - 3 = 2(x - 1)^{2} - 5 $，
$ \therefore $ 该抛物线的顶点坐标为 $ (1, -5) $。
而 $ (1, -5) $ 关于 $ x $ 轴对称的点的坐标为 $ (1,5) $，
$ \therefore $ 与抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x - 3 $ 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式为 $ y = -2(x - 1)^{2} + 5 = -2x^{2} + 4x + 3 $。

9. 求与抛物线$y = -3x^{2}-4x + 1关于y$轴对称的抛物线的解析式。

答案： $ \because y = -3x^{2} - 4x + 1 = -3(x + \frac{2}{3})^{2} + \frac{7}{3} $，
$ \therefore $ 该抛物线的顶点坐标为 $ (-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}) $。
而 $ (-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}) $ 关于 $ y $ 轴对称的点的坐标为 $ (\frac{2}{3}, \frac{7}{3}) $，
$ \therefore $ 与抛物线 $ y = -3x^{2} - 4x + 1 $ 关于 $ y $ 轴对称的抛物线的解析式为 $ y = -3(x - \frac{2}{3})^{2} + \frac{7}{3} = -3x^{2} + 4x + 1 $。

10. 已知直线$y = x + b与抛物线y = ax^{2}+k有唯一公共点A(2,1)$,求该抛物线的解析式。
该抛物线的解析式为$y = \frac{1}{4}x^{2}$。

答案： 把 $ A(2,1) $ 代入 $ y = x + b $，得 $ 2 + b = 1 $，
解得 $ b = -1 $，$ \therefore $ 直线的解析式为 $ y = x - 1 $。
把 $ A(2,1) $ 代入 $ y = ax^{2} + k $，得 $ 4a + k = 1 $，则 $ k = 1 - 4a $，
$ \therefore $ 抛物线的解析式为 $ y = ax^{2} + 1 - 4a $。
$ \because $ 直线 $ y = x + b $ 与抛物线 $ y = ax^{2} + k $ 有唯一公共点，
$ \therefore $ 方程 $ x - 1 = ax^{2} + 1 - 4a $ 有两个相等的实数解，方程可化为 $ ax^{2} - x + 2 - 4a = 0 $，$ \therefore \Delta = (-1)^{2} - 4a(2 - 4a) = 0 $，
解得 $ a_{1} = a_{2} = \frac{1}{4} $，$ \therefore k = 1 - 4a = 0 $。
$ \therefore $ 该抛物线的解析式为 $ y = \frac{1}{4}x^{2} $。