《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1.(2024·河北模拟)已知二次函数$y= (x-h)^{2}+1$(h为常数)在自变量x的值满足$1≤x≤3$的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为(B).
A.1或-5
B.-1或5
C.1或-3
D.1或3

答案： B [解析]
∵当$x = h$时，$y$取最小值为$1$，
∴$h$的值不可能在$1$到$3$之间。
当$h ＜ 1 ≤ x ≤ 3$时，当$x = 1$时，$y$取得最小值$5$，
∴$(1 - h)^2 + 1 = 5$，解得$h = -1$或$h = 3$（不合题意，舍去）；
当$1 ≤ x ≤ 3 ＜ h$，当$x = 3$时，$y$取得最小值$5$，
∴$(3 - h)^2 + 1 = 5$，解得$h = 5$或$h = 1$（不合题意，舍去）。故选 B。

变式1.1已知二次函数$y= mx^{2}-2mx+2(m≠0)在-2≤x≤2$时有最小值-2,则m等于(B).
A.$-4或-\frac {1}{2}$
B.4或$-\frac {1}{2}$
C.$-4或\frac {1}{2}$
D.4或$\frac {1}{2}$

答案： B [解析]
∵二次函数$y = mx^2 - 2mx + 2 = m(x - 1)^2 - m + 2$，
∴对称轴为直线$x = 1$。
①若$m ＞ 0$，则抛物线开口向上，
当$x = 1$时，有最小值$y = -m + 2 = -2$，解得$m = 4$；
②若$m ＜ 0$，则抛物线开口向下，
∵对称轴为直线$x = 1$，在$-2 ≤ x ≤ 2$时有最小值$-2$，
∴$x = -2$时，有最小值$y = 9m - m + 2 = -2$，
解得$m = -\frac{1}{2}$。故选 B。

变式1.2已知函数$y= -x^{2}+bx+c$(b,c为常数)的图象经过点$(0,-3),(-2,5).$
(1)求b,c的值;
(2)当$-4≤x≤0$时,直接写出函数y的最大值和最小值.

答案：
(1)
∵函数的图象经过点$(0, -3)$，$(-2, 5)$，
∴$\begin{cases}c = -3, \\ -4 - 2b + c = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -6, \\ c = -3.\end{cases}$
(2)由
(1)得函数解析式为$y = -x^2 - 6x - 3 = -(x + 3)^2 + 6$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x = -3$，且当$x = -3$时，$y$的值最大，最大值为$6$。
∵$-4 ≤ x ≤ 0$，
∴当$x = -3$时，$y$的值最大，最大值为$6$，
当$x = 0$时，$y$的值最小，最小值为$-3$。

2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= -x^{2}-4x+c$与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且点A的坐标为$(-5,0).$
(1)求点C的坐标;
(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值.

答案：

(1)把点$A$的坐标$(-5, 0)$代入$y = -x^2 - 4x + c$，得$-25 + 20 + c = 0$，解得$c = 5$，
∴点$C$的坐标为$(0, 5)$。
(2)由
(1)知，抛物线的表达式为$y = -x^2 - 4x + 5$，
令$y = -x^2 - 4x + 5 = 0$，解得$x = 1$或$x = -5$，
∴点$B$的坐标为$(1, 0)$。
如图，过点$P$作$PE ⊥ AC$于点$E$，过点$P$作$PF ⊥ x$轴交$AC$于点$H$，
∵$A(-5, 0)$，$C(0, 5)$，
∴$OA = OC$，
∴$\triangle AOC$是等腰直角三角形，
∴$∠CAO = 45^{\circ}$。
∵$PF ⊥ x$轴，
∴$∠AHF = 45^{\circ} = ∠PHE$，
∴$\triangle PHE$是等腰直角三角形，
∴$PE = HE$。
∴在$Rt\triangle PHE$中，由勾股定理，得$PH^2 = PE^2 + HE^2 = 2PE^2$，
∴$PE = \frac{PH}{\sqrt{2}}$，
∴当$PH$最大时，$PE$最大。
设直线$AC$的解析式为$y = kx + 5$，将$A(-5, 0)$代入，得$0 = -5k + 5$，解得$k = 1$，
∴直线$AC$的解析式为$y = x + 5$。
设$P(m, -m^2 - 4m + 5)$，$-5 ＜ m ＜ 0$，则$H(m, m + 5)$，
∴$PH = (-m^2 - 4m + 5) - (m + 5) = -(m + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
∵$a = -1 ＜ 0$，
∴当$m = -\frac{5}{2}$时，$PH$取最大值，为$\frac{25}{4}$，
∴$PE = \frac{25}{4\sqrt{2}} = \frac{25\sqrt{2}}{8}$，
∴此时$PE$的最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$，点$P$到直线$AC$的距离值最大，即点$P$到直线$AC$距离的最大值为$\frac{25\sqrt{2}}{8}$。