《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1.[全国初中数学竞赛(山东赛区)预赛]在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 20^{\circ }$,如图,将$△ABC$绕点 C 按逆时针方向旋转角α到$△A'B'C$的位置,其中$A',B'$分别是 A,B 的对应点,B 在$A'B'$上,$CA'$交 AB 于点 D,则$∠BDC$的度数为(D).

A.$40^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： D [解析]
∵△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角α到△A'B'C 的位置,
∴∠A = ∠A' = 20°,∠ACA' = ∠BCB' = α,CB = CB',
∴∠B' = 90° - 20° = 70°.
在△CBB'中,∠CBB' = ∠B' = 70°,
∴α = 180° - 2×70° = 40°,即∠DCA = α = 40°,
∴∠BDC = ∠DCA + ∠A = 40° + 20° = 60°. 故选 D.

2.[全国初中数学竞赛(湖北荆州)预赛]如图,直角梯形 ABCD 中,$AD// BC,AB⊥BC,AD= 3,BC= 5$,将腰 DC 绕点 D 按逆时针方向旋转$90^{\circ }$至 DE,连接 AE,则$△ADE$的面积是( ).

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
C [解析]如图,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G,过点 E 作 EF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F,则∠CGD = ∠BGD = ∠EFD = 90°.
∵AD//BC,
∴∠FDG = ∠BGD = 90°.
∵∠EDF + ∠CDF = 90°,
∠CDF + ∠CDG = 90°,
∴∠EDF = ∠CDG.
又∠EFD = ∠CGD = 90°,DE = DC,
∴△EDF≌△CDG(AAS).
∴EF = CG.
∵CG = BC - BG = 5 - 3 = 2,
∴EF = 2,

∴S_{△ADE} = $\frac{1}{2}$AD·EF = $\frac{1}{2}$×3×2 = 3. 故选 C.

3.半角模型(浙江衢州创新与知识应用竞赛)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 M,N 分别在 BC,CD 上,使得$△CMN$的周长为 2.求:
(1)$∠MAN$的大小;
(2)$△MAN$面积的最小值.

答案：

(1)如图,将△ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°至△ABL,
∴△ABL≌△ADN,
∠NAL = ∠DAB = 90°.
∴∠ABL = ∠D = 90°,AL = AN,
∠DAN = ∠BAL.
∵点 L 在 CB 的延长线上.
∴MN = 2 - CN - CM = DN + BM = BL + BM = ML.
在△AMN 和△AML 中,$\begin{cases}AM = AM,\\AN = AL,\\MN = ML,\end{cases}$
∴△AMN≌△AML(SSS).
∴∠MAN = ∠MAL = 45°.
(2)设 CM = x,CN = y,MN = z,
则 x² + y² = z²,x + y + z = 2.
消去 x,得(2 - y - z)² + y² = z²,
整理,得 2y² + (2z - 4)y + (4 - 4z) = 0,
∴Δ = (2z - 4)² - 8(4 - 4z) ≥ 0,
解得 z ≥ 2√2 - 2 或 z ≤ -2√2 - 2.
又 z ＞ 0,
∴z ≥ 2√2 - 2,当且仅当 x = y = 2 - √2 时,等号成立. 此时 S_{△AMN} = S_{△AML} = $\frac{1}{2}$ML·AB = $\frac{1}{2}$z ≥ √2 - 1.
因此,当 z = 2√2 - 2,x = y = 2 - √2 时,S_{△AMN} 取到最小值为√2 - 1.

4.[全国初中数学竞赛(吉林赛区)初赛]在$△ABC$中,$AB= AC$,点 D 是直线 BC 上一点(不与 B,C 重合),把$△ABD$绕点 A 旋转,使得 B 与 C 重合,点 D 的对应点是 E.
(1)如图(1),当点 D 在线段 BC 上时,如果$∠BAC= 90^{\circ }$,那么$∠BCE= $______度.
(2)设$∠BAC= α,∠BCE= β.$
①如图(2),当点 D 在线段 BC 上移动时,α,β之间有怎样的数量关系? 请说明理由.
②当点 D 在直线 BC 上移动时,α,β之间有怎样的数量关系? 请直接写出你的结论.

答案：

(1)90
(2)①α + β = 180°. 理由如下:
由旋转可知△ABD≌△ACE,
∴∠B = ∠ACE.
∴∠B + ∠ACB = ∠ACE + ∠ACB = ∠BCE = β.
∵α + ∠B + ∠ACB = 180°,
∴α + β = 180°.
②当点 D 在射线 BC 上时,α + β = 180°. 理由如下:
如图
(1),由旋转可知△ABD≌△ACE,
∴∠B = ∠ACE.
∵∠BAC + ∠B + ∠BCA = 180°,
∴∠BAC + ∠BCE = ∠BAC + ∠BCA + ∠ACE = ∠BAC + ∠BCA + ∠B = 180°,
∴α + β = 180°.
当点 D 在射线 BC 的反向延长线上时,α = β. 理由如下:
如图
(2),由旋转可知△ABD≌△ACE,
∴∠ABD = ∠ACE.
∵∠ABD = ∠BAC + ∠ACB,
∠ACE = ∠BCE + ∠ACB,
∴∠BAC = ∠BCE,即α = β.