《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2024·哈尔滨中考)二次函数$y= 2(x+1)^{2}+3$的最小值是(D).
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3

答案： D

2. 新情境 飞机滑行 飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行时间t(单位:s)的函数解析式为$s= 80t-2t^{2}$,飞机着陆后最后3s滑行的距离为(D).
A. 800m
B. 782m
C. 222m
D. 18m

答案： D [解析]当s取得最大值时,飞机停下来，$s=80t-2t^{2}=-2(t-20)^{2}+800$,即当$t=20$时,飞机滑行了800m停了下来,当$t=17$时,$s=782$,$800 - 782 = 18(m)$. 故选D.

3. (2025·北京13中分校期中)二次函数$y= -(x-h)^{2}-3$的最大值是-3.

答案： -3 [解析]
∵二次函数$y=-(x - h)^{2}-3$中,$a = -1 ＜ 0$,
∴当$x = h$时,二次函数$y=-(x - h)^{2}-3$的最大值是-3.

4. 跨学科 小球运动 根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40m/s的速度将小球沿与地面成$30^{\circ }$角的方向击出,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的函数关系是:$h= -5t^{2}+20t$,则小球运动中的最大高度是20m.

答案： 20 [解析]$h=-5t^{2}+20t=-5(t - 2)^{2}+20$,$\because -5 ＜ 0$,
∴当$t = 2$时,h有最大值,最大值为20.
归纳总结　求最值的方法可用配方法或公式法，一般地，当$a ＞ 0$(或$a ＜ 0$)时,抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a≠0)$的顶点是最低(高)点，也就是说，当$x = -\frac{b}{2a}$时,二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a≠0)$有最小(大)值$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$.

5. 教材P49问题·变式 如图,某高尔夫球手击出一个球,球的高度h(m)和经过的水平距离d(m)可用公式$h= d-0.01d^{2}$来估计.
(1)球上升的最大高度是多少?
答：球上升的最大高度是25m.
(2)若在击球点A正东方向101m处有一球洞B,判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点A直接打入球洞点B,并说明理由.
答：不能,理由如下:依题意,得$d - 0.01d^{2}=0$,解得$d_{1}=100$,$d_{2}=0$(舍去).$\because 100 ＜ 101$,∴此高尔夫球手这一杆不能把球从点A直接打入球洞点B.

答案：
(1)$\because h = d - 0.01d^{2}=-0.01(d - 50)^{2}+25$,
∴当$d = 50$时,h有最大值，为25.
∴球上升的最大高度是25m.
(2)不能,理由如下:依题意,得$d - 0.01d^{2}=0$,解得$d_{1}=100$,$d_{2}=0$(舍去).$\because 100 ＜ 101$,
∴此高尔夫球手这一杆不能把球从点A直接打入球洞点B.

6. (2023·杭州中考)设二次函数$y= a(x-m)(x-m-k)(a＞0$,m,k是实数),则(A).
A. 当$k= 2$时,函数y的最小值为-a
B. 当$k= 2$时,函数y的最小值为-2a
C. 当$k= 4$时,函数y的最小值为-a
D. 当$k= 4$时,函数y的最小值为-2a

答案： A [解析]令$y = 0$,则$(x - m)(x - m - k)=0$,$\therefore x_{1}=m$,$x_{2}=m + k$,
∴二次函数$y = a(x - m)(x - m - k)$与x轴的交点坐标是$(m,0)$,$(m + k,0)$,
∴二次函数的对称轴是直线$x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{m + m + k}{2}=\frac{2m + k}{2}$.$\because a ＞ 0$,
∴当$x=\frac{2m + k}{2}$时,y有最小值，此时$y = a(\frac{2m + k}{2}-m)(\frac{2m + k}{2}-m - k)=-\frac{k^{2}}{4}a$.当$k = 2$时,函数y的最小值$y=-\frac{2^{2}}{4}a=-a$;当$k = 4$时,函数y的最小值为$y=-\frac{4^{2}}{4}a=-4a$. 故选A.

7. (2024·眉山中考)定义运算:$a\otimes b= (a+2b)(a-b)$,例如$4\otimes 3= (4+2×3)(4-3)$,则函数$y= (x+1)\otimes 2$的最小值为(B).
A. -21
B. -9
C. -7
D. -5

答案： B [解析]由题意,得$y=(x + 1)\otimes 2=(x + 1 + 2×2)\cdot (x + 1 - 2)=(x + 5)(x - 1)$,即$y = x^{2}+4x - 5=(x + 2)^{2}-9$,
∴函数$y=(x + 1)\otimes 2$的最小值为-9. 故选B.

8. (浙江温州苍南中学自主招生)二次函数$y= x^{2}-2ax+a在0≤x≤2$上有最小值-6,则a的值为-6或$\frac{10}{3}$.

答案： -6或$\frac{10}{3}$ [解析]$y = x^{2}-2ax + a=(x - a)^{2}-a^{2}+a$的对称轴为直线$x = a$.①当$0\leq a\leq 2$时,
∵二次函数$y = x^{2}-2ax + a$在$0\leq x\leq 2$上有最小值-6,$\therefore -6 = a^{2}-2a\cdot a + a$,解得$a_{1}=-2$,$a_{2}=3$,不符合题意;②当$a ＜ 0$时,函数在$0\leq x\leq 2$上y随x增大而增大.
∵二次函数$y = x^{2}-2ax + a$在$0\leq x\leq 2$上有最小值-6,$\therefore -6 = 0^{2}-2a×0 + a$,解得$a = -6$;③当$a ＞ 2$时,函数在$0\leq x\leq 2$上y随x增大而减小.
∵二次函数$y = x^{2}-2ax + a$在$0\leq x\leq 2$上有最小值-6,$\therefore -6 = 2^{2}-2a×2 + a$,解得$a=\frac{10}{3}$.

9. 加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式$y= -0.2x^{2}+1.5x-2$,则最佳加工时间为3.75min.

答案： 3.75 [解析]$\because y = -0.2x^{2}+1.5x - 2$,
∴当$x = -\frac{1.5}{2×(-0.2)} = 3.75$时,y取得最大值，故最佳加工时间为3.75min.

10. (2024·泰安中考)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是450平方米.

答案： 450 [解析]由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为$(60 - 2x)$米.
∵房屋外墙长为40米,$\therefore 0 ＜ 60 - 2x\leq 40$,$\therefore 10\leq x ＜ 30$. 菜园的面积$=x(60 - 2x)=-2x^{2}+60x=-2(x - 15)^{2}+450$,
∴当$x = 15$时,可围成的菜园的最大面积是450,即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米.

11. (2024·徐州中考)如图,A,B为一次函数$y= -x+5的图象与二次函数y= x^{2}+bx+c$的图象的公共点,点A,B的横坐标分别为0,4.P为二次函数$y= x^{2}+bx+c$的图象上的动点,且位于直线AB的下方,连接PA,PB.
(1)求b,c的值;
(2)求$\triangle PAB$的面积的最大值.

答案：

(1)当$x = 0$时,$y = -x + 5 = 5$;当$x = 4$时,$y = -x + 5 = 1$,$\therefore A(0,5)$,$B(4,1)$,代入二次函数的解析式,

得$\begin{cases}c = 5\\16 + 4b + c = 1\end{cases}$,解得$\begin{cases}c = 5\\b = -5\end{cases}$.
(2)由
(1)可得$y = x^{2}-5x + 5$,设$P(m,m^{2}-5m + 5)$,如图,作$PE// OA$,交AB于点E,则$E(m,-m + 5)$,则$PE=-m + 5-(m^{2}-5m + 5)=4m - m^{2}$,$\therefore S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}(4m - m^{2})×(4 - 0)=-2(m - 2)^{2}+8$,当$m = 2$时,$S_{\triangle ABP}$取最大值为8.