《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

12. (2024·南京秦淮区一模)已知周长为acm(a为定值)的矩形的一边长y(cm)与它的邻边长x(cm)之间的函数图象如图所示.
(1)a的值为44.
(2)当x为何值时,该矩形的面积最大?最大面积是多少?
当x=11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm².

答案：
(1)44 [解析]
∵周长为$a cm$(a为定值)的矩形的一边长$y(cm)$与它的邻边长$x(cm)$,$\therefore a = 2(x + y)$.
∵当$x = 12$时,$y = 10$,$\therefore a = 2(12 + 10)=44$.
(2)$\because$由
(1)知,$2(x + y)=44$,$\therefore y = 22 - x$,$\therefore S_{矩形}=xy=x(22 - x)=-x^{2}+22x(x ＞ 0)$,$\therefore$当$x = -\frac{22}{-2}=11$时,$S_{矩形最大}=-11^{2}+22×11 = 121$.故当$x = 11cm$时,该矩形的面积最大,最大面积是$121cm^{2}$.

13. 中考新考法 新定义问题 我们把自变量为x的函数记作$f(x),f(x_{0})表示自变量x= x_{0}$时,函数$f(x)$的值.已知函数$f(x)= x^{2}-4x+6.$
(1)当$-1≤x≤1$时,不等式$f(x)≥2x+2m+1$恒成立,求实数m的取值范围;$m\leq 0$
(2)设函数$g(x)= x+b$,若对任意$1≤x_{1}≤4$,存在$5≤x_{2}≤8$,使得$g(x_{1})= f(x_{2})$,求实数b的取值范围.$10\leq b\leq 34$

答案：
(1)当$-1\leq x\leq 1$时,不等式$f(x)\geq 2x + 2m + 1$恒成立,即当$-1\leq x\leq 1$时,$x^{2}-6x - 2m + 5\geq 0$恒成立.
∵函数$y = x^{2}-6x - 2m + 5$的对称轴为直线$x = 3$,开口向上,
∴函数在$x = 1$处取得最小值,
∴只需要$1 - 6 - 2m + 5\geq 0$,解得$m\leq 0$.
(2)$\because f(x)=x^{2}-4x + 6$,对称轴为$x = 2$,开口向上,$5\leq x\leq 8$,$\therefore$当$x = 5$时,取得最小值,为$f(5)=5^{2}-4×5 + 6 = 11$,$x = 8$时,取得最大值,$f(8)=8^{2}-4×8 + 6 = 38$,$\therefore f(x)$在$5\leq x\leq 8$上的取值范围是$11\leq f(x)\leq 38$.同理$g(x)=x + b$在$1\leq x\leq 4$上的取值范围是$1 + b\leq g(x)\leq 4 + b$.$\because$对任意$1\leq x_{1}\leq 4$,存在$5\leq x_{2}\leq 8$,使得$g(x_{1})=f(x_{2})$,$\therefore$满足$11\leq 1 + b$且$38\geq 4 + b$,解得$10\leq b\leq 34$.

14. 中考新考法 面积最值问题 (2023·潍坊中考)工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示.经测量,$AB// DE$,AB与DE之间的距离为2米,$AB= 3$米,$AF= BC= 1$米,$∠A= ∠B= 90^{\circ },∠C= ∠F= 135^{\circ }$.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面积最大?最大面积是多少?

答案：
如图,连接CF,交HM于点Q,交GN于点P.$\because AF = BC = 1$米,$\angle A=\angle B = 90^{\circ }$,$\therefore AF// BC$,$\therefore$四边形ABCF是矩形,$\therefore \angle AFC=\angle BCF = 90^{\circ }$.$\because$四边形MNGH是矩形,$\therefore \angle HMN=\angle MNG = 90^{\circ }$,$MH = NG$,$\therefore \angle HQF=\angle GPC = 90^{\circ }$,$MQ = AF = NP = BC = 1$米.$\because \angle BCG=\angle AFH = 135^{\circ }$,$\therefore \angle HFQ=\angle GCP = 45^{\circ }$,$\therefore FQ = HQ$,$CP = GP$,$\therefore FQ = HQ = MH - MQ = MH - 1$,同理,得$CP = MH - 1$,$\therefore AM = NB = MH - 1$,$\therefore MN = AB - AM - NB = 3-(MH - 1)-(MH - 1)=5 - 2MH$,$\therefore S_{矩形MNGH}=MN\cdot MH=(5 - 2MH)\cdot MH=5MH - 2MH^{2}=-2(MH^{2}-\frac{5}{2}MH)=-2(MH-\frac{5}{4})^{2}+\frac{25}{8}$,$\therefore$当$MH=\frac{5}{4}$米时,矩形铁皮MNGH的面积最大,最大面积是$\frac{25}{8}$平方米.