《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

变式2.1(2025·吉林长春期末)如图,P是抛物线$y= -x^{2}+x+3$在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为(C).

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C [解析]令$y = 0$，则$-x^2 + x + 3 = 0$，解得$x = \frac{1 ± \sqrt{13}}{2}$，
∴抛物线与$x$轴正半轴交于点$(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}, 0)$。设$P(x, -x^2 + x + 3)$，$0 ＜ x ＜ \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$，
∴四边形$OAPB$的周长$= 2PA + 2OA = -2x^2 + 2x + 6 + 2x = -2x^2 + 4x + 6 = -2(x - 1)^2 + 8$，
当$x = 1$时，四边形$OAPB$的周长有最大值，最大值为$8$。故选 C。

变式2.2如图,一次函数$y_{1}= x+4,y_{2}= -x^{2}+2x$,P为$y_{2}$上一动点,求P到$y_{1}$的距离的最小值.

答案：
如图，过点$P$作$PH ⊥ y_1$，垂足为$H$，作$PQ // y$轴，交$y_1$于点$Q$，$A$，$B$分别为$y_1$与$x$轴，$y$轴的交点。
设$P(t, -t^2 + 2t)$，则$Q(t, t + 4)$，
∴$PQ = t + 4 - (-t^2 + 2t) = t^2 - t + 4$。
令$x = 0$，$y_1 = 4$；令$y_1 = 0$，$x = -4$，
∴$A(-4, 0)$，$B(0, 4)$，
∴$OA = OB$。
∴$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$∠ABO = 45^{\circ}$。
∵$PQ // y$轴，
∴$∠PQH = ∠ABO = 45^{\circ}$。
∵$PH ⊥ y_1$，
∴$∠PHQ = 90^{\circ}$，
∴$\triangle PHQ$是等腰直角三角形，
∴$PH = QH$，
∴$PQ^2 = PH^2 + QH^2 = 2PH^2$，
∴$PH = \frac{\sqrt{2}}{2}PQ = \frac{\sqrt{2}}{2}(t^2 - t + 4) = \frac{\sqrt{2}}{2}(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{15\sqrt{2}}{8}$，
∴当$t = \frac{1}{2}$时，$PH$有最小值，最小值为$\frac{15\sqrt{2}}{8}$。

3.(2024·河南洛阳期中)如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$(a,b,c为常数,$a≠0$)经过点$A(-1,0),B(5,-6),C(6,0).$
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)如图,连接AB,点P在直线AB下方的抛物线上,求出$\triangle ABP$的面积取最大时点P的坐标.

答案：

(1)由题可设$y = a(x + 1)(x - 6)(a ≠ 0)$，
把$B(5, -6)$代入，得$a(5 + 1)×(5 - 6) = -6$，解得$a = 1$，
∴$y = (x + 1)(x - 6) = x^2 - 5x - 6$。
(2)如图，连接$AP$，$BP$，过点$P$作$PD ⊥ x$轴于点$D$，交$AB$于点$E$，
设直线$AB$的解析式为$y = kx + b'$，
将$A(-1, 0)$，$B(5, -6)$代入，
得$\begin{cases}-k + b' = 0, \\ 5k + b' = -6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1, \\ b' = -1.\end{cases}$
∴直线$AB$的解析式为$y = -x - 1$。
设$P(m, m^2 - 5m - 6)$，$-1 ＜ m ＜ 5$，
则$E(m, -m - 1)$，
∴$PE = (-m - 1) - (m^2 - 5m - 6) = -m^2 + 4m + 5$，
∴$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}PE \cdot (x_B - x_A) = \frac{1}{2}(-m^2 + 4m + 5)×6 = -3(m - 2)^2 + 27$，
∴当$m = 2$时，$S_{\triangle ABP}$最大，此时$P(2, -12)$。

变式3.1实验班原创如图,点A,B是直线$y= x$在第一象限中的两点,横坐标分别为a,$a+3$,若点E是抛物线$y= x^{2}-4x+8$上的一点,连接EA,EB,求$\triangle ABE$面积的最小值.

答案：
设点$E(m, m^2 - 4m + 8)$，如图，过点$E$作$EM$垂直于$x$轴交$AB$于点$M$，作$BF ⊥ EM$，$AG ⊥ EM$，垂足分别为$F$，$G$，
由题意，得$M(m, m)$，
∴$EM = m^2 - 4m + 8 - m = m^2 - 5m + 8 = (m - \frac{5}{2})^2 + \frac{7}{4}$，
∴$S_{\triangle ABE} = S_{\triangle AEM} + S_{\triangle EMB} = \frac{1}{2}EM \cdot AG + \frac{1}{2}EM \cdot BF = \frac{1}{2}EM(AG + BF) = \frac{3}{2}(m - \frac{5}{2})^2 + \frac{21}{8}$。
∵$\frac{3}{2} ＞ 0$，
∴$S_{\triangle ABE}$有最小值，
∴当$m = \frac{5}{2}$时，$S_{\triangle ABE}$的最小值为$\frac{21}{8}$。

变式3.2(2024·湖北荆门期中)如图,已知抛物线$y= -x^{2}+2x+3$与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(点A在点B左边).
(1)请直接写出A,B,C三点的坐标;
(2)若点P是第一象限内抛物线上一点,求$\triangle PBC$面积最大时点P的坐标.

答案：

(1)当$x = 0$时，$y = 3$，
∴$C(0, 3)$。
当$y = 0$时，$-x^2 + 2x + 3 = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$，
∴$A(-1, 0)$，$B(3, 0)$。
(2)如图，过点$P$作$PN ⊥ x$轴于点$N$，交$BC$于点$D$，连接$PB$，$PC$，
则$S_{\triangle BCP} = \frac{1}{2}PD \cdot OB$。
∵$B(3, 0)$，
∴$OB = 3$，
∴$S_{\triangle BCP} = \frac{1}{2}PD \cdot OB = \frac{3}{2}PD$。
设直线$BC$的解析式为$y = kx + b$，
把$B(3, 0)$，$C(0, 3)$代入，
得$\begin{cases}0 = 3k + b, \\ 3 = b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1, \\ b = 3.\end{cases}$
∴直线$BC$的解析式为$y = -x + 3$。
设$D(m, -m + 3)$，$P(m, -m^2 + 2m + 3)$，$0 ＜ m ＜ 3$，
∴$PD = -m^2 + 2m + 3 - (-m + 3) = -m^2 + 3m = -(m - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$，
∴当$m = \frac{3}{2}$时，$PD$取最大值，此时$\triangle BCP$的面积最大，
∴$P(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。