《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

10. (2025·江苏盐城大丰区期末)如图,AB为半圆O的直径,点F在半圆上,点P在AB的延长线上,PC与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,$DC= DE$.
(1)求证:$OD⊥AB$;
(2)若半圆O的半径为8,且$OA= 2OE$,求DF的长.

(1) 连接OC，∵OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA。
　∵DC = DE，∴∠DEC = ∠DCE，
　∴∠OEA = ∠DEC = ∠DCE。
　∵PC与半圆O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，∴PC⊥OC，∴∠OCD = 90°，∴∠BOD = ∠OEA + ∠OAC = ∠DCE + ∠OCA = ∠OCD = 90°，∴OD⊥AB。
(2) ∵半圆O的半径为8，∴OA = OF = OC = 8。
　∵OA = 2OE = 8，∴OE = 4，
　∴FE = OF - OE = 8 - 4 = 4，∴DC = DE = DF + 4。
　∵OC² + DC² = OD²，且OD = DF + 8，
　∴8² + (DF + 4)² = (DF + 8)²，解得DF = 2，
　∴DF的长是2。

答案：
(1) 连接OC，
∵OA = OC，
∴∠OAC = ∠OCA。
∵DC = DE，
∴∠DEC = ∠DCE，
∴∠OEA = ∠DEC = ∠DCE。
∵PC与半圆O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，
∴PC⊥OC，
∴∠OCD = 90°，
∴∠BOD = ∠OEA + ∠OAC = ∠DCE + ∠OCA = ∠OCD = 90°，
∴OD⊥AB。
(2)
∵半圆O的半径为8，
∴OA = OF = OC = 8。
∵OA = 2OE = 8，
∴OE = 4，
∴FE = OF - OE = 8 - 4 = 4，
∴DC = DE = DF + 4。
∵OC² + DC² = OD²，且OD = DF + 8，
∴8² + (DF + 4)² = (DF + 8)²，解得DF = 2，
∴DF的长是2。

11. (2025·广东东莞虎门外国语学校期末)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,D为AB的中点,以CD为直径作$\odot O$,交BC边于点E,过点E作$EF⊥AB$,垂足为点F.
(1)求证:EF为$\odot O$的切线;
(2)若$AC= 2,CD= \sqrt {5}$,求DF的长.

(1) 连接OE，DE，
　∵CD是⊙O的直径，∴∠CED = 90°。
　∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为AB的中点，
　∴CD = BD，∴点E是BC的中点。
　又点O是CD的中点，
　∴OE是△BCD的中位线，∴OE//AB。
　∵EF⊥AB，∴EF⊥OE。
　∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线。
　(2) 连接DE，
　∵CD是直角三角形ABC斜边中线，CD = $\sqrt{5}$，
　∴AB = 2CD = 2$\sqrt{5}$。
　∵AC = 2，∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 4。
　∵点E是BC的中点，∴BE = $\frac{1}{2}BC$ = 2。
　在Rt△BDE中，BD = CD = $\sqrt{5}$，BE = 2，
　∴DE = $\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}$ = 1。
　∵S△BDE = $\frac{1}{2}DE\cdot BE$ = $\frac{1}{2}BD\cdot EF$，即1×2 = $\sqrt{5}$×EF，∴EF = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。在Rt△DEF中，DE = 1，EF = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
　∴DF = $\sqrt{DE^{2}-EF^{2}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

答案：
(1) 连接OE，DE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED = 90°。
∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为AB的中点，
∴CD = BD，
∴点E是BC的中点。
　又点O是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE//AB。
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE。
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线。
(2) 连接DE，
∵CD是直角三角形ABC斜边中线，CD = $\sqrt{5}$，
∴AB = 2CD = 2$\sqrt{5}$。
∵AC = 2，
∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 4。
∵点E是BC的中点，
∴BE = $\frac{1}{2}BC$ = 2。
　在Rt△BDE中，BD = CD = $\sqrt{5}$，BE = 2，
∴DE = $\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}$ = 1。
∵S△BDE = $\frac{1}{2}DE\cdot BE$ = $\frac{1}{2}BD\cdot EF$，即1×2 = $\sqrt{5}$×EF，
∴EF = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。在Rt△DEF中，DE = 1，EF = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DF = $\sqrt{DE^{2}-EF^{2}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$。
　解题关键　本题考查切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键。

12. 如图,AB是$\odot O$的直径,AC是弦,D是$\overset{\frown }{AB}$的中点,CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点,且$CF= EF$.
(1)求证:CF为$\odot O$的切线;
(2)连接BD.若$CF= 4,BF= 2$,求BD的长.

答案：

(1) 如图，连接OC，OD，
∵OC = OD，
∴∠OCD = ∠ODC。
∵CF = EF，
∴∠FCE = ∠FEC。
∵∠OED = ∠FEC，
∴∠OED = ∠FCE。
∵AB是⊙O的直径，D是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，
∴∠DOE = 90°，
∴∠OED + ∠ODC = 90°，
∴∠FCE + ∠OCD = 90°，即∠OCF = 90°。
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线。
　
(2) 设OA = OD = OC = OB = r，则OF = r + 2，
　在Rt△COF中，OC² + CF² = OF²，
∴r² + 4² = (r + 2)²，解得r = 3，
∴OB = OD = 3。
∵∠DOB = 90°，
∴BD = $\sqrt{OD^{2}+OB^{2}}$ = 3$\sqrt{2}$。

13. (2025·北京师大实验华夏女子中学期中)如图,过圆外一点A作$\odot O$的切线AB,AC,切点分别是B,C,连接BC.过$\overset{\frown }{BC}$上一点D作$\odot O$的切线,分别交AB,AC于点E,F.若$∠A= 90^{\circ },△AEF$的周长为4,则BC的长为____2$\sqrt{2}$.

答案： 2$\sqrt{2}$ [解析]
∵AB，AC，EF是⊙O的切线，
∴AB = AC，EB = ED，DF = CF。
∵△AEF的周长 = AE + AF + EF = AE + DE + AF + DF = AE + BE + AF + CF = AB + AC，
∴AB + AC = 4，
∴AB = AC = 2。
∵BC² = AB² + AC²，
∴BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$。

14. 如图,已知$△ABC$是边长为8 cm的等边三角形,点O在边AB上,$\odot O$过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,$EF⊥AC$,垂足为F.
(1)求证:直线EF是$\odot O$的切线;
(2)当直线DF与$\odot O$相切时,求$\odot O$的半径.

答案：

(1) 如图，连接OE。
∵△ABC是边长为8cm的等边三角形，
∴AB = AC = BC = 8cm，∠B = ∠A = 60°。
∵OB = OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE = ∠A = 60°，
∴OE//AC。
∵EF⊥AC，
∴∠OEF = ∠EFC = 90°，即EF⊥OE。
　又OE是⊙O的半径，
∴直线EF是⊙O的切线。
(2) 如图，连接DF。
∵直线DF，EF都与⊙O相切，
∴EF = DF，∠OEF = ∠ODF = 90° = ∠ADF = ∠CFE。
　
∵∠A = ∠C = 60°，
∴△ADF≌△CFE(AAS)，
∴AF = CE，CF = AD，∠AFD = ∠CEF = 30°，
∴AF = 2AD = 2CF。
∵AC = AB = 8cm，
∴AF + CF = 2CF + CF = 3CF = 8cm，
　即CF = $\frac{8}{3}$cm = AD，
∴BD = AB - AD = $\frac{16}{3}$cm，
∴OB = $\frac{1}{2}BD$ = $\frac{8}{3}$cm，
　即⊙O的半径为$\frac{8}{3}$cm。