《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

6. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AC$是弦,$P是AC延长线上一点且AC= PC$,$PB的延长线交\odot O于点D$.求证:$AC= DC$.

证明：连接 BC。$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore$$\angle ACB = 90^{\circ}$。
又 $ AC = PC $，$\therefore$$AB = PB$，$\therefore$$\angle A = \angle P$。
$\because$$\angle D = \angle A$，$\therefore$$\angle D = \angle P$，$\therefore$$DC = PC$，$\therefore AC = DC$。

答案： 连接 $ BC $。$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$。
又 $ AC = PC $，$\therefore AB = PB$，$\therefore \angle A = \angle P$。
$\because \angle D = \angle A$，$\therefore \angle D = \angle P$，$\therefore DC = PC$，$\therefore AC = DC$。

7. 如图,已知$\odot O的半径为r$,弦$AB$,$CD$相互垂直,连接$AD$,$BC$.求证:$AD^{2}+BC^{2}= 4r^{2}$.

答案：
如图，作 $\odot O$ 的直径 $ DE $，连接 $ AE $，$ CE $。
$\because DE$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore EC \perp CD$。
又 $ AB \perp CD $，$\therefore AB // EC$，
$\therefore \overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BC}$，$\therefore AE = CB$。

由 $ DE $ 是 $\odot O$ 的直径，得 $\angle EAD = \angle ECD = 90^{\circ}$，
由勾股定理，得 $ AD^{2} = DE^{2} - AE^{2} $，
$\therefore AD^{2} + BC^{2} = DE^{2} - AE^{2} + AE^{2} = 4r^{2}$。

8. 如图,$P是\odot O的弦CB$延长线上一点,点$A在\odot O$上,且$\angle C= \angle BAP$.求证:$PA是\odot O$的切线.

答案：
如图，作 $\odot O$ 的直径 $ AD $，连接 $ BD $，
则 $\angle C = \angle D$，$\angle ABD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle D + \angle BAD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle C + \angle BAD = 90^{\circ}$。
又 $\angle C = \angle BAP$，

$\therefore \angle BAD + \angle BAP = 90^{\circ}$，
即 $ AP \perp OA $。
又 $ OA $ 是 $\odot O$ 的半径，
$\therefore PA$ 是 $\odot O$ 的切线。

9. (2025·广东广州中学期中)如图,$O为\angle BAC$平分线上一点,$OD\perp AB于点D$,以$O$为圆心,$OD为半径作\odot O$,求证:$\odot O与AC$相切.

答案：
如图，过点 $ O $ 作 $ OE \perp AC $，垂足为 $ E $。

$\because O$ 为 $\angle BAC$ 平分线上一点，$ OD \perp AB $，$ OE \perp AC $，
$\therefore OE = OD$。$\because OE \perp AC$，$\therefore \odot O$ 与 $ AC $ 相切。

10. (2025·福建福州长乐区期中)如图,在$\mathrm{Rt}\triangle OAB$中,$\angle AOB= 90^{\circ}$,$OA= 3$,$OB= 4$,以点$O$为圆心,$2.4为半径作\odot O$.求证:$AB是\odot O$的切线.

答案：
如图，过点 $ O $ 作 $ OC \perp AB $ 于点 $ C $。
$\because \angle AOB = 90^{\circ}$，$ OA = 3 $，$ OB = 4 $，
$\therefore AB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
$\because S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot OC = \frac{1}{2} OA \cdot OB$，

$\therefore OC = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$。
$\because \odot O$ 的半径为 $ 2.4 $，
$\therefore OC$ 等于 $\odot O$ 的半径。
又 $ AB \perp OC $，$\therefore AB$ 是 $\odot O$ 的切线。