《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

2. 在平面直角坐标系$xOy$中,二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图象经过点A(0,-4)和B(-2,2)$.
(1)求$c$的值,并用含$a的式子表示b$;
(2)当$-2＜x＜0$时,若二次函数满足$y随x$的增大而减小,求$a$的取值范围;
(3)直线$AB上有一点C(m,5)$,将点$C向右平移4$个单位长度,得到点$D$,若抛物线与线段$CD$只有一个公共点,求$a$的取值范围.

答案：

(1)把点 $ A(0,-4) $ 和 $ B(-2,2) $ 分别代入 $ y = ax^2 + bx + c $ 中, 得 $ c = -4 $, $ 4a - 2b + c = 2 $,
∴ $ b = 2a - 3 $.
(2)当 $ a ＜ 0 $ 时, 依题意得抛物线的对称轴需满足 $ -\frac{2a - 3}{2a} \leq -2 $, 解得 $ -\frac{3}{2} \leq a ＜ 0 $;
当 $ a ＞ 0 $ 时, 依题意得抛物线的对称轴需满足 $ -\frac{2a - 3}{2a} \geq 0 $,
解得 $ 0 ＜ a \leq \frac{3}{2} $.
∴ $ a $ 的取值范围是 $ -\frac{3}{2} \leq a ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ a \leq \frac{3}{2} $.
(3)设直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = kx + n $,
则 $ \begin{cases} n = -4 \\ 2 = -2k + n \end{cases} $, 解得 $ \begin{cases} k = -3 \\ n = -4 \end{cases} $,
故直线 $ AB $ 解析式为 $ y = -3x - 4 $.
把 $ C(m,5) $ 代入, 得 $ m = -3 $,
∴ $ C(-3,5) $, 由平移得 $ D(1,5) $.
①当 $ a ＞ 0 $ 时, 若抛物线与线段 $ CD $ 只有一个公共点, 如图
(1), $ y = ax^2 + bx + c = ax^2 + (2a - 3)x - 4 $,
当 $ x = 1 $ 时, $ y = 3a - 7 $,
则抛物线上的点 $ (1,3a - 7) $ 在点 $ D $ 的下方,
∴ $ 3a - 7 ＜ 5 $, 解得 $ a ＜ 4 $,
∴ $ 0 ＜ a ＜ 4 $.

②当 $ a ＜ 0 $ 时, 若抛物线的顶点在线段 $ CD $ 上,
则抛物线与线段只有一个公共点, 如图
(2),
∴ $ \frac{4ac - b^2}{4a} = 5 $, 即 $ \frac{4a \times (-4) - (2a - 3)^2}{4a} = 5 $,
解得 $ a = -3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} $ 或 $ a = -3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} $.
综上, $ a $ 的取值范围是 $ 0 ＜ a ＜ 4 $ 或 $ a = -3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} $ 或 $ a = -3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} $.

变式2.1 已知抛物线$y= mx^{2}-2mx-3m(m＞0)与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$左侧),与$y轴交于点C$,顶点为点$D$.
(1)抛物线的对称轴为____直线x=1____,点$A$的坐标为____(-1,0)____;
(2)已知点$M(2,-4)$,$N(1,-4)$,连接$MN$所得的线段与该抛物线有交点,直接写出$m$的取值范围.1≤m≤4/3

答案：
(1)直线 $ x = 1 $ $ (-1,0) $ [解析]抛物线的对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2m}{2m} = 1 $.
令 $ y = mx^2 - 2mx - 3m = 0 $,
解得 $ x = 3 $ 或 $ -1 $,
∴点 $ A $, $ B $ 的坐标分别为 $ (-1,0) $, $ (3,0) $.
(2)当抛物线过点 $ M $ 时, $ 4m - 4m - 3m = -4 $,
解得 $ m = \frac{4}{3} $;
当抛物线过点 $ (1,-4) $ 时, $ m - 2m - 3m = -4 $, 解得 $ m = 1 $.
∴ $ m $ 的取值范围为 $ 1 \leq m \leq \frac{4}{3} $.

变式2.2 实验班原创 如图,点$A$,$B为x$轴上的点,点$C为y$轴上一点,$OA= OC= 6$,对称轴为直线$x= -2的抛物线经过A$,$B$,$C$三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点$F$在对称轴上运动,将线段$BC绕着点F逆时针方向旋转90^{\circ}后得到线段B_{1}C_{1}$,当点$B_{1}与C_{1}$恰有一点落在抛物线上时,求点$F$的坐标.

答案：

(1)由题意, 得抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A $, $ B $ 两点, 与 $ y $ 轴交于点 $ C $, $ OA = OC = 6 $, 对称轴是直线 $ x = -2 $,
∴ $ A(-6,0) $, $ C(0,6) $, $ B(2,0) $.
设抛物线解析式为 $ y = ax^2 + bx + 6(a \neq 0) $, 将 $ A $, $ B $ 点的坐标代入, 得 $ \begin{cases} 36a - 6b + 6 = 0 \\ 4a + 2b + 6 = 0 \end{cases} $, 解得 $ \begin{cases} a = -\frac{1}{2} \\ b = -2 \end{cases} $,
∴抛物线解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 6 $.
(2)如图, 设点 $ F(-2,t) $. 则点 $ B $ 逆时针方向旋转 $ 90^\circ $ 后的坐标为 $ B_1(t - 2,t + 4) $, 点 $ C $ 绕点 $ F $ 逆时针方向旋转 $ 90^\circ $ 后的坐标为 $ C_1(t - 8,t + 2) $,

当 $ B_1(t - 2,t + 4) $ 在抛物线上时,
$ t + 4 = -\frac{1}{2}(t - 2)^2 - 2(t - 2) + 6 $, 化简得 $ t^2 + 2t - 8 = 0 $,
解得 $ t_1 = 2 $, $ t_2 = -4 $.
∴ $ t_1 = 2 $ 时, $ F(-2,2) $, $ t_2 = -4 $ 时, $ F(-2,-4) $.
经检验, 此时点 $ C_1 $ 不在抛物线上.
当 $ C_1(t - 8,t + 2) $ 在抛物线上时, $ t + 2 = -\frac{1}{2}(t - 8)^2 - 2(t - 8) + 6 $, 化简得 $ t^2 - 10t + 24 = 0 $, 解得 $ t_1 = 4 $, $ t_2 = 6 $.
∴当 $ t_1 = 4 $ 时, $ F(-2,4) $, 当 $ t_2 = 6 $ 时, $ F(-2,6) $.
经检验, 此时点 $ B_1 $ 不在抛物线上.
综上, 满足题意的点 $ F $ 的坐标为 $ (-2,2) $, $ (-2,-4) $, $ (-2,4) $, $ (-2,6) $.