《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1.(2025·河北邯郸期中)用配方法解方程:$(2x-1)^{2}= 4x+9.$
解:整理,得$4x^2 - 8x - 8 = 0$,移项,得$4x^2 - 8x = 8$,二次项系数化为1,得$x^2 - 2x = 2$,配方,得$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$,即($x - 1$)$^{2}= $3,开方,得$x - 1 = \pm\sqrt{3}$,解得$x_{1}= $$1 + \sqrt{3}$,$x_{2}= $$1 - \sqrt{3}$.

答案： $(2x - 1)^2 = 4x + 9$，整理，得$4x^2 - 8x - 8 = 0$，移项，得$4x^2 - 8x = 8$，二次项系数化为 1，得$x^2 - 2x = 2$，配方，得$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$，即$(x - 1)^2 = 3$，开方，得$x - 1 = \pm\sqrt{3}$，解得$x_1 = 1 + \sqrt{3}$，$x_2 = 1 - \sqrt{3}$。

变式1.1 (2025·辽宁大连期中)解方程:$3x^{2}-6x-2= 0.$

答案： 移项，得$3x^2 - 6x = 2$，二次项系数化为 1，得$x^2 - 2x = \frac{2}{3}$，配方，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{2}{3} + 1$，即$(x - 1)^2 = \frac{5}{3}$，直接开平方，得$x - 1 = \pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\therefore x_1 = 1 + \frac{\sqrt{15}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$。

变式1.2 (2025·江西景德镇期中)请用配方法讨论关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-c+2= 0$的根的情况.

答案： 配方后方程转化为$(x - 1)^2 = c - 1$。当$c - 1 \geq 0$，即$c \geq 1$时，方程有实数根；当$c - 1 ＜ 0$，即$c ＜ 1$时，方程无实数根。

变式1.3 (2025·重庆江北区期末)下面是小明同学解一元二次方程$3x^{2}+8x-3= 0$的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:二次项系数化为1,
得$x^{2}+\frac {8}{3}x-1= 0$,……第一步
配方,得$x^{2}+\frac {8}{3}x+(\frac {4}{3})^{2}-1= 0$,……第二步
$(x+\frac {4}{3})^{2}-1= 0$,……第三步
$(x+\frac {4}{3})^{2}= 1$,……第四步
由此可得$x+\frac {4}{3}= \pm 1$,……第五步
解得$x_{1}= -\frac {1}{3},x_{2}= -\frac {7}{3}$.……第六步
任务一:填空:
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法,依据的数学公式是完全平方公式;
②第二步开始出现错误,错误的原因是等式的右边没有加上$(\frac{4}{3})^2$.
任务二:请你写出该方程的正确求解过程.
移项，得$3x^2 + 8x = 3$，二次项系数化为 1，得$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$，配方，得$x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 = 1 + (\frac{4}{3})^2$，即$(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$，由此可得$x + \frac{4}{3} = \pm\frac{5}{3}$，所以$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$。

答案： 任务一：①配方法 完全平方公式②二 等式的右边没有加上$(\frac{4}{3})^2$任务二：移项，得$3x^2 + 8x = 3$，二次项系数化为 1，得$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$，配方，得$x^2 + \frac{8}{3}x + (\frac{4}{3})^2 = 1 + (\frac{4}{3})^2$，即$(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$，由此可得$x + \frac{4}{3} = \pm\frac{5}{3}$，所以$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = -3$。