《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·广东广州海珠区中山大学附中月考)某商店销售一种童装,若这种童装每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系$y= -(x-25)^{2}+125$,若要想获得最大利润,则销售单价x为(A).
A. 25元
B. 20元
C. 30元
D. 40元

答案： A [解析]
∵商店销售一种童装每天获利$y$(元)与销售单价$x$(元)满足关系$y=-(x-25)^{2}+125$，
∴二次函数的开口向下，在$x=25$时，$y$有最大值，为$125$元，
∴要想获得最大利润，销售单价$x$为$25$元.故选A.

2. 教材P50探究2·变式(2025·山东威海文登二中期中)某款旅游纪念品很受游客喜爱,每个纪念品进价40元,规定销售单价不低于44元,且不高于52元.某商户在销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300个,销售单价每上涨2元,每天销量减少20个.将纪念品的销售单价定为52元时,商家每天销售纪念品获得的利润最大.

答案： $52$ [解析]设商家每天销售利润为$w$元，销售单价为$x$元，则$w=(x-40)(-10x+740)=-10x^{2}+1140x-29600$，
∴图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=57$.
∵$44\leqslant x\leqslant 52$，
∴当$x=52$时，$w$有最大值.
### 归纳总结
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销售额等问题.解此类题的关键是根据题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量$x$的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量$x$的取值范围.

3. (2024·济宁中考)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式.
y=-5x+800
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少?
当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元.

答案：
(1)由题意，设一次函数的解析式为$y=kx+b$，
∵图象过$(100,300)$，$(120,200)$，
∴$\begin{cases}100k+b=300,\\120k+b=200,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-5,\\b=800,\end{cases}$
∴函数解析式为$y=-5x+800$.
(2)由题意，得$\begin{cases}x\geqslant 100,\\-5x+800\geqslant 220,\end{cases}$解得$100\leqslant x\leqslant 116$.
设商场获得的利润为$w$，$w=(x-80)(-5x+800)=-5x^{2}+1200x-64000=-5(x-120)^{2}+8000$.
∵$-5＜0$，$100\leqslant x\leqslant 116$，
∴当$x=116$时，利润最大，最大值为$7920$.
故当销售单价为$116$元时，商场获得利润最大，最大利润是$7920$元.

4. (2024·天津南开区二模)已知某商品每件的进价为40元,售价为每件60元,每星期可卖出该商品300件.根据市场调查反映:商品的零售价每降价1元,则每星期可多卖出该商品20件.有下列结论:①当降价为3元时,每星期可卖360件;②每星期的利润为6120元时,可以将该商品的零售价定为42元或者43元;③每星期的最大利润为6250元.其中,正确结论的个数是(C).
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

答案： C [解析]由题意可得，当降价为$3$元时，每星期可卖$300+3\times 20=360$(件)，故①正确，符合题意；
当每星期的利润为$6120$元时，设售价为$x$元，则$(x-40)[300+20(60-x)]=6120$，
解得$x_{1}=57$，$x_{2}=58$，
即每星期的利润为$6120$元时，可以将该商品的零售价定为$57$元或者$58$元，故②错误，不符合题意；
设利润为$w$元，售价为$m$元，则$w=(m-40)[300+20(60-m)]=-20(m-\frac{115}{2})^{2}+6125$，
∴当$m=\frac{115}{2}$时，$w$取得最大值，为$6125$.
∵$6125＜6250$，
∴③中的说法是错误的，不符合题意.故选C.

5. (2025·北京师大附属实验中学期中)某宾馆有若干间标准房,该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元,且不高于250元.经市场调查表明,每天入住的房间数y(单位:间)与每间标准房的价格x(单位:元)之间满足函数关系式:$y= -\frac {1}{2}x+170$,则当该宾馆每间标准房的价格$x=$180元时,标准房日营业额w(单位:元)最大,最大营业额为14400元.

答案： $180$ $14400$ [解析]由题意，可得标准房日营业额$w=xy=x(-\frac{1}{2}x+170)=-\frac{1}{2}x^{2}+170x=-\frac{1}{2}(x-170)^{2}+14450$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$，
∴当$x＞170$时，$w$随$x$的增大而减小.
∵$180\leqslant x\leqslant 250$，
∴当$x=180$时，$w$取最大值，最大值为$-\frac{1}{2}\times(180-170)^{2}+14450=14400$.
故当该宾馆每间标准房的价格为$180$元时，标准房日营业额$w$最大，最大营业额为$14400$元.

6. 某公司新产品上市30天全部售完,图(1)表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,图(2)表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系,则最大日销售利润是1800元.

答案： $1800$ [解析]设日销售量$y$与上市时间$t$之间的函数关系式为$y=kt(k\neq 0)$，则$30k=60$，解得$k=2$，即日销售量$y$与上市时间$t$之间的函数关系式为$y=2t(0\leqslant t\leqslant 30)$.
当$0＜t\leqslant 20$时，设单件销售利润$w$与$t$之间的函数关系式为$w=at$，则$20a=30$，解得$a=1.5$，即当$0＜t\leqslant 20$时，单件销售利润$w$与$t$之间的函数关系式为$w=1.5t$；
当$20＜t\leqslant 30$时，单件销售利润$w$与$t$之间的函数关系式为$w=30$.
设日销售利润为$W$元，当$0＜t\leqslant 20$时，$W=1.5t\cdot 2t=3t^{2}$，故当$t=20$时，$W$取得最大值，此时$W=1200$；
当$20＜t\leqslant 30$时，$W=30\times 2t=60t$，故当$t=30$时，$W$取得最大值，此时$W=1800$.
综上所述，最大日销售利润为$1800$元.

7. (2023·盘锦中考)某工厂生产一种产品,经市场调查发现,该产品每月的销售量y(件)与售价x(万元/件)之间满足一次函数关系,部分数据如表:

(1)求y与x的函数关系式(不写自变量的取值范围).
解：设一次函数的表达式为y=kx+b，根据表格数据可得方程组，解得k=-2，b=100，所以函数关系式为y=-2x+100。
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件,利润为450万元.
①求三月份每件产品的成本是多少万元;
解：设三月份每件产品的成本为m万元，当售价x=35时，销售量y=30，根据利润公式可得方程450=30×(35 - m)，解得m=20，即三月份每件产品的成本是20万元。
②四月份工厂为了降低成本,提高产品质量,投资了450万元改进设备和革新技术,使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为25万元,且不高于30万元,求这个月获得的利润w(万元)关于售价x(万元/件)的函数关系式,并求最少利润是多少万元.
解：四月份每件产品的成本为6万元，利润w关于售价x的函数关系式为w=-2x² + 112x - 1050(25≤x≤30)，此函数的对称轴为直线x=28，在25≤x≤30范围内，当x=25时，w取得最小值，最少利润是500万元。

答案：
(1)在表格取点$(30,40)$，$(32,36)$，设一次函数的表达式为$y=kx+b$，则$\begin{cases}40=30k+b,\\36=32k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=100,\end{cases}$
则一次函数的表达式为$y=-2x+100$.
(2)①设三月份每件产品的成本为$m$万元，
当$x=35$时，$y=-2x+100=30$，
由题意，得$450=30(35-m)$，解得$m=20$，
即三月份每件产品的成本是$20$万元.
②四月份每件产品的成本比三月份下降了$14$万元，则此时的成本为$20-14=6$(万元).
由题意，得$w=y(x-6)-450=(-2x+100)(x-6)-450=-2x^{2}+112x-1050(25\leqslant x\leqslant 30)$，
此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=28$.
∵$28-25＞30-28$，
∴当$x=25$时，$w$取得最小值，此时$w=500$，即四月份最少利润是$500$万元.