《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

7. (2025·北京师大附中期中)如图,在菱形ABCD中,$ ∠BAD= α(0^{\circ}＜α＜90^{\circ}) $,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转$ 90^{\circ} 得到菱形 A'B'C'D' $,两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形$ BFB'GDHD'E $给出下面四个结论,正确的是( ).

A. 对于任意α,该八边形都是正八边形
B. 存在唯一的α,使得该八边形为正八边形
C. 对于任意α,该八边形都有外接圆
D. 存在唯一的α,使得该八边形有内切圆

答案：
B　[解析]如图,延长BD和DB,连接OH.
∵四边形ABCD是菱形,
∠BAD=α,
∴∠BAO=∠DAO=
$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$α,
∠AOD=∠AOB=90°.
∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形
A'B'C'D',
∴点A',D',B',C'一定在
对角线AC,BD所在直线
上,OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC',
∴AD'=C'D.∠D'AH=∠DC'H=$\frac{1}{2}$α.
又∠D'HA=∠DHC',
∴△AD'H≌△C'DH(AAS),
∴D'H=DH,C'H=AH.
同理可证D'E=BE,BF=B'F,B'G=DG,
∵∠EA'B=∠HC'D,A'B=C'D,∠A'BE=∠C'DH,
∴△A'BE≌△C'DH(ASA),
∴DH=BE.
同理可得DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=
DG,
∴八边形BED'HDGB'F各边长都相等
当∠BAD=α=45°时,∠ADB=∠CDB=67.5°,
即∠HDG=135°,
∵∠D'OD=90°,∠0D'H=∠ODH=67.5°,
∴∠D'HD=135°,
∴∠D'HD=∠HDG=135°.
同理可得∠D'HD=∠HDG=∠DGB'=∠GB'F=
∠B'FB=∠FBE=∠BED'=∠ED'H=135°,
∴当∠BAD=α=45°,八边形BED'HDGB'F各内角相等，故B正确.故选B

8. 实验班原创如图,有一个圆O和两个正六边形$ T_{1},T_{2} $.$ T_{1} $的6个顶点都在圆周上,$ T_{2} $的6条边都和圆O相切(我们称$ T_{1},T_{2} $分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).设$ T_{1},T_{2} $的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求$ r:a 及 r:b $的值.

答案：
如图,连接OE,OF,OG,OH,则OE=OF=r.
∵T₁是正六边形,且EF=a,
∴△OEF是等边三角形,
∴OE=a,
∴r:a=1:1.
∵T₂是正六边形,且GH=b,
∴△OGH是等边三角形,
∴OG=GH=b.
∵HG与⊙O相切,
∴OE⊥GH.
∴OE平分∠GOH,
∴∠EOG=$\frac{1}{2}$∠GOH=30°.
∴EG=$\frac{1}{2}$OG=$\frac{1}{2}$b.
∴OE=$\sqrt{OG^{2}-EG^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,
即r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b,
∴r:b=$\sqrt{3}$:2.

9. 如图,中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;
(2)若四边形PBQE为矩形,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.

答案：

(1)
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,
∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.
∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s的速度沿
AF,DC向终点F,C运动，
∴AP=DQ=t cm,PF=QC=(6−t)cm.
在△ABP和△DEQ中,$\begin{cases}AB = DE,\\∠A = ∠D,\\AP = DQ,\end{cases}$
∴△ABP≌△DEQ(SAS).
∴BP=EQ.
同理可证PE=QB,
∴四边形PEQB为平行四边形.
(2)如图
(1),连接BE,OA,则∠AOB=$\frac{360^{\circ}}{6}$=60°.
正n边形的中心角=$\frac{360^{\circ}}{n}$　
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA=6cm,BE=2OB=12cm.
当t=0时,点P与点A重合,点Q与点D重合,四边形PBQE即为四边形ABDE，如图
(1)所示，
则∠EAF=∠AEF=30°,
∴∠BAE=120°−30°=90°.
∴此时四边形ABDE是矩形,即四边形PBQE是矩形;
当t=6时,点P与点F重合,点Q与点C重合,四边形PBQE即为四边形FBCE,如图
(2)所示.
同理可知∠BFE=90°,此时四边形PBQE是矩形.
综上所述，当t=0或6时,四边形PBQE是矩形,
∴AE=BF=$\sqrt{12^{2}-6^{2}}$=6$\sqrt{3}$(cm),
∴S矩形PBQE=
S矩形FBCE=S矩形ABDE=AB·AE=6×6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$(cm²).
∵S正六边形ABCDEF=6S△AOB=6×$\frac{1}{4}$S矩形ABDE=6×$\frac{1}{4}$×36$\sqrt{3}$=54$\sqrt{3}$(cm²),
∴S矩形PBQE:S正六边形ACDEF=$\frac{2}{3}$.

10. (2024·呼和浩特中考)如图,正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于$ \odot O $,AD和EF相交于点M,则$ ∠AMF $的度数为( ).

A. $ 26^{\circ} $
B. $ 27^{\circ} $
C. $ 28^{\circ} $
D. $ 30^{\circ} $

答案：
B　[解析]如图,连接OG,OF,OD,OE,DF,AC,则AC
是正五边形CEFGH,正方形ABCD的对称轴，
∴∠AOD=$\frac{360^{\circ}}{4}$=90°,∠FOG=
∠EOF=$\frac{360^{\circ}}{5}$=72°.
∵AC是正五边形CEFGH的对称轴,
∴∠AOG=∠AOF=$\frac{1}{2}$∠FOG=36°,
∴∠DOF=90°−36°=54°,
∴∠DOE=72°−54°=18°,
∴∠AMF=∠MFD+∠MDF=$\frac{1}{2}$∠DOE+$\frac{1}{2}$∠AOF=
$\frac{1}{2}$×18°+$\frac{1}{2}$×36°=9°+18°=27°.
故选B