《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·湖南娄底娄星区期中)方程$(3x-1)(2x+4)= 0$的解是(A).
A. $\frac {1}{3}$或-2
B. 2
C. $-\frac {1}{3}$
D. $\frac {1}{3}$或2

答案： A [解析]
∵$(3x - 1)(2x + 4) = 0$，
∴$3x - 1 = 0$或$2x + 4 = 0$，
∴$x_1 = \frac{1}{3}$，$x_2 = - 2$。故选A。
素养考向 因式分解法解一元二次方程的理论基础是“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）。

2. 实验班原创 方程$x^{2}-5x= 6$利用因式分解法解时可得方程(D).
A. $(x+2)(x-3)= 0$
B. $(x-2)(x+3)= 0$
C. $(x-1)(x+6)= 0$
D. $(x+1)(x-6)= 0$

答案： D

3. (2025·重庆梁平区期中)一元二次方程$x^{2}= 2x$的根是$x_1 = 0$，$x_2 = 2$.

答案： $x_1 = 0$，$x_2 = 2$

4. 用因式分解法解方程$x^{2}+px-6= 0$,将左边分解因式后有一个因式是$x+3$,则p的值是____1.

答案： 1 [解析]设另一个因式为$x + a$，则$x^2 + px - 6 = (x + a)(x + 3) = x^2 + (3 + a)x + 3a = 0$，
∴$p = 3 + a$，$- 6 = 3a$，
∴$a = - 2$，$p = 1$。

5. (2025·山东德州乐陵期中)小华设计了一个魔术盒,将任意实数对$(a,b)$放入其中,会得到一个新的实数$a^{2}-2b-3$.若将实数对$(2x,-x)$放入其中得到实数-1,则x的值为$- 1$或$\frac{1}{2}$.

答案： $- 1$或$\frac{1}{2}$ [解析]由题意，得$(2x)^2 - 2(- x) - 3 = - 1$，
整理，得$2x^2 + x - 1 = 0$，
∴$(x + 1)(2x - 1) = 0$，
∴$x + 1 = 0$或$2x - 1 = 0$，解得$x_1 = - 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$，
∴$x$的值为$- 1$或$\frac{1}{2}$。

6. 用因式分解法解下列方程:
(1)(2024·滨州中考)$x^{2}-4x= 0;$
∵$x^2 - 4x = 0$，∴$x(x - 4) = 0$，∴$x = 0$或$x - 4 = 0$，∴$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
(2)(2023·广州中考)$x^{2}-6x+5= 0.$
∵$x^2 - 6x + 5 = 0$，∴$(x - 1)(x - 5) = 0$，∴$x - 1 = 0$或$x - 5 = 0$，∴$x_1 = 1$，$x_2 = 5$。

答案：
(1)
∵$x^2 - 4x = 0$，
∴$x(x - 4) = 0$，
∴$x = 0$或$x - 4 = 0$，
∴$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
(2)
∵$x^2 - 6x + 5 = 0$，
∴$(x - 1)(x - 5) = 0$，
∴$x - 1 = 0$或$x - 5 = 0$，
∴$x_1 = 1$，$x_2 = 5$。

7. 关于x的方程$(m-1)x^{2}+x+m^{2}+2m-3= 0$的一个根是0,则m的值是(C).
A. 7
B. -3
C. 1或-3
D. 0

答案： C [解析]把$x = 0$代入方程$(m - 1)x^2 + x + m^2 + 2m - 3 = 0$，得$m^2 + 2m - 3 = 0$，解得$m = 1$或$- 3$。故选C。
易错提醒 注意方程与一元二次方程的区别，虽然当$m = 1$时$m - 1 = 0$，但它仍然是一个方程，故不能舍去。

8. (2024·赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-10x+21= 0$的两个根,则这个三角形的周长为(C).
A. 17或13
B. 13或21
C. 17
D. 13

答案： C [解析]$x^2 - 10x + 21 = 0$，$(x - 3)(x - 7) = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 7$。
当等腰三角形的边长是3，3，7时，$3 + 3 ＜ 7$，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是7，7，3时，这个三角形的周长是$7 + 7 + 3 = 17$。故选C。

9. 中考新考法 新定义问题 (2025·江苏连云港海州区新海实验中学期中)对于两个不相等的实数a,b,现规定$max\{ a,b\}$表示a,b中较大的数,例如$max\{ 1,2\} = 2$.则方程$max\{ 2x,x+2\} = x^{2}-4$的解为____$x = - 2$或$x = 1 + \sqrt{5}$.

答案： $x = - 2$或$x = 1 + \sqrt{5}$ [解析]①当$2x \geq x + 2$时，此时$x \geq 2$，则$2x = x^2 - 4$，
解得$x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$（不合题意，舍去）；
②当$2x ＜ x + 2$时，此时$x ＜ 2$，
则$x + 2 = x^2 - 4$，
∴$(x + 2)(x - 3) = 0$，
解得$x_1 = - 2$，$x_2 = 3$（不合题意，舍去）。
∴方程$\max\{2x,x + 2\} = x^2 - 4$的解为$x = - 2$或$x = 1 + \sqrt{5}$。

10. (四川绵阳东辰国际学校自主招生)如果关于x的方程$x^{2}+2(a+1)x+2a+1= 0$有一个小于1的正数根,那么实数a的取值范围是$- 1 ＜ a ＜ - \frac{1}{2}$.

答案： $- 1 ＜ a ＜ - \frac{1}{2}$ [解析]原方程可化为$(x + 1)(x + 2a + 1) = 0$，解得$x_1 = - 1$，$x_2 = - 2a - 1$。
∵$- 1 ＜ 0$，
∴小于1的正数根只能为$- 2a - 1$，
即$0 ＜ - 2a - 1 ＜ 1$，解得$- 1 ＜ a ＜ - \frac{1}{2}$。

11. 教材P17习题T6·变式 用因式分解法解方程:
(1)$(x-1)^{2}-2(x^{2}-1)= 0$;
∵$(x - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 0$，
∴$(x - 1)^2 - 2(x + 1)(x - 1) = 0$，
∴$(x - 1)[(x - 1) - 2(x + 1)] = 0$，
即$(x - 1)(- x - 3) = 0$，
∴$x - 1 = 0$或$- x - 3 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = - 3$。
(2)$(x^{2}+4)(x^{2}+1)= 2x(4+x^{2}).$
∵$(x^2 + 4)(x^2 + 1) = 2x(4 + x^2)$，
∴$(x^2 + 4)(x^2 - 2x + 1) = 0$，
∴$x^2 - 2x + 1 = 0$，
$x^2 + 4 ＞ 0$是前提
即$(x - 1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 1$。

答案：
(1)
∵$(x - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 0$，
∴$(x - 1)^2 - 2(x + 1)(x - 1) = 0$，
∴$(x - 1)[(x - 1) - 2(x + 1)] = 0$，
即$(x - 1)(- x - 3) = 0$，
∴$x - 1 = 0$或$- x - 3 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = - 3$。
(2)
∵$(x^2 + 4)(x^2 + 1) = 2x(4 + x^2)$，
∴$(x^2 + 4)(x^2 - 2x + 1) = 0$，
∴$x^2 - 2x + 1 = 0$，
$x^2 + 4 ＞ 0$是前提
即$(x - 1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 1$。