《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 用公式法解方程$x^{2}-2= -3x$时,$a,b,c$的值依次是(B).
A. $0,-2,-3$
B. $1,3,-2$
C. $1,-3,-2$
D. $1,-2,-3$

答案： B

2. (2024·浙江湖州吴兴区期末)在用求根公式$x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$求一元二次方程的根时,小珺正确地代入了$a,b,c得到x= \frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}$,则她求解的一元二次方程是(A).
A. $2x^{2}-3x-1= 0$
B. $2x^{2}+4x-1= 0$
C. $-x^{2}-3x+2= 0$
D. $3x^{2}-2x+1= 0$

答案： A

3. 求方程$x^{2}+3x+2= 0$的根时,根据求根公式,列式为$x= \frac{m\pm\sqrt{9-4×1×2}}{2×1}$,则$m$的值为$-3$.

答案： $-3$

4. (2025·湖南永州十六中月考)用求根公式解方程$x^{2}+3x= -1$,得$x_{1}= $$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}= $$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.

答案： $\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
[解析] $\because x^{2}+3x=-1$，
$\therefore x^{2}+3x+1=0$，$\therefore a=1$，$b=3$，$c=1$，
$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4\times1\times1}}{2\times1}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
归纳总结 一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$的求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}(b^{2}-4ac\geq0)$。

5. (教材P11例2·变式)用公式法解方程:
(1)$x^{2}-x-2= 0$;
$\because a=1$，$b=-1$，$c=-2$，$\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×(-2)=9＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2×1}=\frac{1\pm3}{2}$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
(2)$\frac{4}{3}x^{2}-4x-\frac{1}{3}= 0$;
原方程整理，得$x^{2}-3x-\frac{1}{4}=0$。$\because a=1$，$b=-3$，$c=-\frac{1}{4}$，$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-\frac{1}{4})=10＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{10}}{2×1}$，$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$。
(3)$x^{2}-2\sqrt{5}x-4= 0$;
$\because a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=-4$，$\therefore b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×1×(-4)=36＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{2\sqrt{5}\pm6}{2}$，$\therefore x_{1}=\sqrt{5}+3$，$x_{2}=\sqrt{5}-3$。
(4)$(x+1)(x-3)= 6$。
原方程整理，得$x^{2}-2x-9=0$。$\because a=1$，$b=-2$，$c=-9$，$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-9)=40＞0$，$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{40}}{2×1}=\frac{2\pm2\sqrt{10}}{2}$，$\therefore x_{1}=1+\sqrt{10}$，$x_{2}=1-\sqrt{10}$。
归纳总结 用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定$a$，$b$，$c$的值(注意符号)；②求出$b^{2}-4ac$的值(若$b^{2}-4ac＜0$，则方程无实数根)；③在$b^{2}-4ac\geq0$的前提下，把$a$，$b$，$c$的值代入公式进行计算求出方程的根。注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①$a\neq0$；②$b^{2}-4ac\geq0$。

答案：
(1) $\because a=1$，$b=-1$，$c=-2$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\times1\times(-2)=9＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2\times1}=\frac{1\pm3}{2}$，
$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
(2) 原方程整理，得$x^{2}-3x-\frac{1}{4}=0$。
$\because a=1$，$b=-3$，$c=-\frac{1}{4}$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\times1\times(-\frac{1}{4})=10＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{10}}{2\times1}$，
$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$。
(3) $\because a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=-4$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4\times1\times(-4)=36＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{36}}{2\times1}=\frac{2\sqrt{5}\pm6}{2}$，
$\therefore x_{1}=\sqrt{5}+3$，$x_{2}=\sqrt{5}-3$。
(4) 原方程整理，得$x^{2}-2x-9=0$。
$\because a=1$，$b=-2$，$c=-9$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times(-9)=40＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{40}}{2\times1}=\frac{2\pm2\sqrt{10}}{2}$，
$\therefore x_{1}=1+\sqrt{10}$，$x_{2}=1-\sqrt{10}$。
归纳总结 用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定$a$，$b$，$c$的值(注意符号)；②求出$b^{2}-4ac$的值(若$b^{2}-4ac＜0$，则方程无实数根)；③在$b^{2}-4ac\geq0$的前提下，把$a$，$b$，$c$的值代入公式进行计算求出方程的根。注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①$a\neq0$；②$b^{2}-4ac\geq0$。

6. (安徽马鞍山二中理科实验班自主招生)已知方程$x^{2}-8x+4= 0较大的根为a$,则与$a^{3}$最接近的整数是(C).
A. 414
B. 415
C. 416
D. 417

答案： C
[解析] $\because a=1$，$b=-8$，$c=4$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4\times1\times4=64-16=48$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2\times1}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{2}=4\pm2\sqrt{3}$，
$\therefore$较大的根为$a=4+2\sqrt{3}$，
$\therefore a^{3}=(4+2\sqrt{3})^{3}\approx7.464^{3}\approx416$。故选C。

7. 实验班原创 在计算正数$a$的平方时,某同学误算成$a$与2的积,求得的答案比正确答案小1,那么正数$a$的值应该为$1+\sqrt{2}$.

答案： $1+\sqrt{2}$
[解析] 由题知，$a^{2}-2a=1$，则$a^{2}-2a-1=0$，
$\because a=1$，$b=-2$，$c=-1$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\times1\times(-1)=8＞0$，则$a=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}$，
$\therefore a_{1}=1+\sqrt{2}$，$a_{2}=1-\sqrt{2}$。
又$a$为正数，所以$a=1+\sqrt{2}$。

8. 中考新考法 新定义问题 (2024·湖南湘潭期末)对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\max\{a,b\}表示a,b$中的较大值,如:$\max\{2,5\}= 5$.按照这个规定,方程$\max\{1,x\}= x^{2}-3$的解为______$x=-2$或$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$.

答案： $x=-2$或$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$
[解析] 当$x＜1$时，方程$\max\{1,x\}=x^{2}-3$为$x^{2}-3=1$，即$x^{2}=4$，解得$x_{1}=2$(不合题意，舍去)，$x_{2}=-2$；
当$x＞1$时，方程$\max\{1,x\}=x^{2}-3$为$x^{2}-3=x$，即$x^{2}-x-3=0$，解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$(不合题意，舍去)。
故方程的解为$x=-2$或$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$。

9. 中考新考法 新定义问题 对任意两实数$a,b$,定义运算“$*$”如下:$a*b= \begin{cases}b^{a}(a\geqslant b),\\b^{a}+b(a\lt b).\end{cases}$根据这个规则,方程$2*x= 9$的解为$x=-3$或$x=\frac{\sqrt{37}-1}{2}$.

答案： $x=-3$或$x=\frac{\sqrt{37}-1}{2}$
[解析] ①若$x\leq2$，则$x^{2}=9$，解得$x=-3$或$x=3$(舍去)；②若$x＞2$，则$x^{2}+x=9$，解得$x=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$(舍去)。
综上，$x=-3$或$x=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$。

10. 解下列方程:
(1)$(x+2)^{2}+6(x+2)-91= 0$;
整理，得$x^{2}+10x-75=0$。
$\because a=1$，$b=10$，$c=-75$，
$\therefore b^{2}-4ac=10^{2}-4×1×(-75)=400＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{400}}{2×1}=\frac{-10\pm20}{2}$，
$\therefore x_{1}=5$，$x_{2}=-15$。
(2)$x^{2}-(1+2\sqrt{3})x-3+\sqrt{3}= 0$.
$\because a=1$，$b=-(1+2\sqrt{3})$，$c=-3+\sqrt{3}$，
$\therefore b^{2}-4ac=[-(1+2\sqrt{3})]^{2}-4×1×(-3+\sqrt{3})=25＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1+2\sqrt{3}\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{1+2\sqrt{3}\pm5}{2}$，
$\therefore x_{1}=3+\sqrt{3}$，$x_{2}=-2+\sqrt{3}$。

答案：
(1) 整理，得$x^{2}+10x-75=0$。
$\because a=1$，$b=10$，$c=-75$，
$\therefore b^{2}-4ac=10^{2}-4\times1\times(-75)=400＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{400}}{2\times1}=\frac{-10\pm20}{2}$，
$\therefore x_{1}=5$，$x_{2}=-15$。
(2) $\because a=1$，$b=-(1+2\sqrt{3})$，$c=-3+\sqrt{3}$，
$\therefore b^{2}-4ac=[-(1+2\sqrt{3})]^{2}-4\times1\times(-3+\sqrt{3})=25＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1+2\sqrt{3}\pm\sqrt{25}}{2\times1}=\frac{1+2\sqrt{3}\pm5}{2}$，
$\therefore x_{1}=3+\sqrt{3}$，$x_{2}=-2+\sqrt{3}$。