《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. (2024·无锡梁溪区积余实验学校模拟改编)如图,点A的坐标是(-2,0),点C是以OA为直径的⊙B上的一个动点,点A关于点C的对称点为点P(x,y),求3x+4y的最小值.

答案：
如图，连接BC，OP。
∵点A关于点C的对称点为点$P(x,y)$，点C是以OA为直径的$\odot B$上的一动点，
∴$OP=AO=2BC$。
∴点P运动的路径是以O为圆心，AO为半径的圆。设$3x + 4y = k$，则点P在直线$y=-\frac {3}{4}x+\frac {k}{4}$上。
∴当直线$y=-\frac {3}{4}x+\frac {k}{4}$与$\odot O$相切且在$\odot O$的下方时，$\frac {k}{4}$的值最小，此时$3x + 4y$的值最小。
设此时直线$y=-\frac {3}{4}x+\frac {k}{4}$与x轴交于点E，与y轴交于点F，$\odot O$与直线$y=-\frac {3}{4}x+\frac {k}{4}$的切点为G，则点$E(\frac {k}{3},0)$，$F(0,\frac {k}{4})$，
∴$OE=-\frac {k}{3}$，$OF=-\frac {k}{4}$。
∴$EF=-\frac {5}{12}k$。
∵$S_{\triangle OEF}=\frac {1}{2}OE\cdot OF=\frac {1}{2}OG\cdot EF$，
∴$\frac {1}{2}×(-\frac {k}{3})×(-\frac {k}{4})=\frac {1}{2}×2×(-\frac {5k}{12})$。
解得$k=-10$或$k=0$（舍去），
∴$3x + 4y$的最小值为$-10$。

12. (湖南长沙一中理实班自主招生改编)如图,在平面直角坐标系中,已知⊙O的半径为2,动直线AB与x轴交于点P(x,0),直线AB与x轴正方向夹角为45°,若直线AB与⊙O有公共点,求x的取值范围.

答案：
如图，当AB与$\odot O$相切时，有一个公共点，设这个公共点为G，连接OG，则$OG⊥CD$，这时$OG=2$。

在$Rt△OCG$中，由勾股定理，得$OC=\sqrt {OG^{2}+CG^{2}}=2\sqrt {2}$，即$x=2\sqrt {2}$。
若直线AB在第二象限与$\odot O$相切，这时可求得$x=-2\sqrt {2}$，
∴$x$的取值范围是$-2\sqrt {2}≤x≤2\sqrt {2}$。

13. 分类讨论思想 点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴、y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫做“垂距点”.例如:如图所示的P(1,3)是“垂距点”.
(1)在点A(2,2),B(3/2,-5/2),C(-1,5)中,是“垂距点”的点为____;
(2)求函数y= 2x+3的图象上的“垂距点”的坐标;
(3)⊙T的圆心T的坐标为(1,0),半径为r.若⊙T上存在“垂距点”,则r的取值范围是____.

答案：

(1)A，B　[解析]
∵$|2|+|2|=4$，$|\frac {3}{2}|+|-\frac {5}{2}|=4$，$|-1|+|5|=6≠4$，
∴是“垂距点”的点为A，B。
(2)设函数$y=2x + 3$的图象上的“垂距点”的坐标为$(a,2a + 3)$，依题意，得$|a|+|2a + 3|=4$。
需按a的正负和$(2a + 3)$的正负进行分类：
①当$a≥0$时，$a+(2a + 3)=4$，解得$a=\frac {1}{3}$，
∴此时“垂距点”的坐标为$(\frac {1}{3},\frac {11}{3})$；
②当$-\frac {3}{2}＜a＜0$时，$-a+(2a + 3)=4$，解得$a = 1$（不合题意，舍去）；
③当$a≤-\frac {3}{2}$时，$-a-(2a + 3)=4$，解得$a=-\frac {7}{3}$，
∴此时“垂距点”的坐标为$(-\frac {7}{3},-\frac {5}{3})$。
综上所述，函数$y=2x + 3$的图象上的“垂距点”的坐标是$(\frac {1}{3},\frac {11}{3})$或$(-\frac {7}{3},-\frac {5}{3})$。
(3)$\frac {3\sqrt {2}}{2}≤r＜5$　[解析]设“垂距点”的坐标为$(x,y)$，则$|x|+|y|=4(xy≠0)$。
当$x＞0$，$y＞0$时，$x + y = 4$，即$y=-x + 4(0＜x＜4)$；
当$x＜0$，$y＞0$时，$-x + y = 4$，即$y=x + 4(-4＜x＜0)$；
当$x＜0$，$y＜0$时，$-x - y = 4$，即$y=-x - 4(-4＜x＜0)$；
当$x＞0$，$y＜0$时，$x - y = 4$，即$y=x - 4(0＜x＜4)$。
画出$|x|+|y|=4(xy≠0)$的函数图象，如图所示。当$\odot T$与DE相切时，过点T作$TN⊥DE$于点N，易证$△DNT$为等腰直角三角形，
∴$TN=\frac {\sqrt {2}}{2}TD=\frac {\sqrt {2}}{2}×|4 - 1|=\frac {3\sqrt {2}}{2}$。
等腰直角三角形中直角边等于斜边$×\frac {\sqrt {2}}{2}$。
当$\odot T$过点$F(-4,0)$时，$\odot T$上不存在“垂距点”，此时$r=FT=|1-(-4)|=5$。
∴若$\odot T$上存在“垂距点”，则r的取值范围是$\frac {3\sqrt {2}}{2}≤r＜5$。

思路引导：本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程、一次函数图象上点的坐标特征以及相切，解题的关键是：
(1)根据“垂距点”的定义，判断给出点是否为“垂距点”；
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程；
(3)利用特殊值法，找出r的取值范围。