《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 已知一个二次函数的图象经过点$A(-1,0)$,$B(0,3)$,$C(2,3)$,求这个函数的解析式。

答案： 设二次函数的解析式为 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $，
根据题意，得 $ \begin{cases} a - b + c = 0, \\ c = 3, \\ 4a + 2b + c = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -1, \\ b = 2, \\ c = 3. \end{cases} $
$ \therefore $ 该二次函数的解析式为 $ y = -x^{2} + 2x + 3 $。

2. 已知抛物线的顶点坐标是$(2,1)$,且该抛物线经过点$A(3,3)$,求该抛物线的解析式。

答案： 设该抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^{2} + 1 $，
把 $ A(3,3) $ 代入，得 $ 3 = a(3 - 2)^{2} + 1 $，解得 $ a = 2 $。
故该抛物线的解析式是 $ y = 2(x - 2)^{2} + 1 $。

3. 已知抛物线$y = x^{2}-bx + c$($b$,$c$为常数)的顶点坐标为$(2,-1)$,求该抛物线的解析式。

答案： 由题意，得该抛物线的解析式为 $ y = (x - 2)^{2} - 1 $，
即 $ y = x^{2} - 4x + 3 $。

4. 已知抛物线$y = -x^{2}+bx + c与x轴的两个交点分别为A(1,0)$,$B(3,0)$,求此抛物线的解析式。

答案： 由题意，得此抛物线的解析式 $ y = -(x - 1)(x - 3) = -x^{2} + 4x - 3 $。

5. 在平面直角坐标系中,不论$a$取何值,抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5 - a}{2}x + 2a - 2都经过x轴上一定点Q$,直线$y = (a - 2)x + 2也经过点Q$,求此抛物线的解析式。
此抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{7}{4}x + 1$。

答案： $ \because $ 不论 $ a $ 取何值，抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{5 - a}{2}x + 2a - 2 $ 都经过 $ x $ 轴上一定点 $ Q $，
$ \therefore $ 当 $ a = 0 $ 时，$ y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{5}{2}x - 2 $；
当 $ a = 1 $ 时，$ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2x $。
令 $ y = 0 $，则 $ \begin{cases} -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{5}{2}x - 2 = 0, \\ -\frac{1}{2}x^{2} + 2x = 0, \end{cases} $ 解得 $ x = 4 $，$ \therefore Q(4,0) $。
$ \because $ 直线 $ y = (a - 2)x + 2 $ 也经过点 $ Q $，
$ \therefore 0 = (a - 2) \times 4 + 2 $，解得 $ a = \frac{3}{2} $，
$ \therefore $ 此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{7}{4}x + 1 $。
### 一题多解
$ \because $ 不论 $ a $ 取何值，抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{5 - a}{2}x + 2a - 2 $ 都经过 $ x $ 轴上一定点 $ Q $，$ \therefore $ 可设点 $ Q $ 的坐标为 $ (m,0) $，则 $ -\frac{1}{2}m^{2} + \frac{5 - a}{2}m + 2a - 2 = 0 $，整理得 $ -\frac{1}{2}m^{2} + \frac{5}{2}m - 2 + a(2 - \frac{m}{2}) = 0 $，$ \therefore 2 - \frac{m}{2} = 0 $，$ \therefore m = 4 $，$ \therefore Q(4,0) $。$ \because $ 直线 $ y = (a - 2)x + 2 $ 也经过点 $ Q $，
$ \therefore 0 = (a - 2) \times 4 + 2 $，解得 $ a = \frac{3}{2} $，
$ \therefore $ 此抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{7}{4}x + 1 $。