《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

12. 若$a为方程(x-\sqrt{13})^{2}= 16$的一正根,$b为方程y^{2}-2y+1= 13$的一负根,求$a+b$的值.5

答案：
∵方程$(x-\sqrt{13})^{2}=16$的解为$x=\sqrt{13}\pm4$，$\sqrt{13}+4\gt0$，$\sqrt{13}-4\lt0$，
∴$a=\sqrt{13}+4$。
∵方程$y^{2}-2y + 1 = 13$，即$(y - 1)^{2}=13$的解为$y = 1\pm\sqrt{13}$，$1+\sqrt{13}\gt0$，$1-\sqrt{13}\lt0$，
∴$b = 1-\sqrt{13}$，
∴$a + b=\sqrt{13}+4 + 1-\sqrt{13}=5$。

13. 中考新考法 过程纠错改错 有$n$个方程:$x^{2}+2x-8= 0$;$x^{2}+2 × 2x-8 × 2^{2}= 0$;…$$;$x^{2}+2 n x-8 n^{2}= 0$.
小静同学解第$1个方程x^{2}+2x-8= 0$的步骤如下:①$x^{2}+2x= 8$;②$x^{2}+2x+1= 8+1$;③$(x+1)^{2}= 9$;④$x+1= \pm 3$;⑤$x= 1 \pm 3$;⑥$x_{1}= 4$,$x_{2}= -2$.
(1)小静的解法是从第几步开始出现错误的?请完成之后的正确步骤.
(2)用配方法解第$n个方程x^{2}+2 n x-8 n^{2}= 0$.(用含有$n$的式子表示方程的根)
(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的。正确步骤如下：⑤$x=-1\pm3$；⑥$x_{1}=2$，$x_{2}=-4$。
(2)∵$x^{2}+2nx - 8n^{2}=0$，∴$x^{2}+2nx = 8n^{2}$，∴$x^{2}+2nx + n^{2}=8n^{2}+n^{2}$，即$(x + n)^{2}=9n^{2}$，∴$x + n=\pm3n$，∴$x_{1}=2n$，$x_{2}=-4n$。

答案：
(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的。正确步骤如下：⑤$x=-1\pm3$；⑥$x_{1}=2$，$x_{2}=-4$。
(2)
∵$x^{2}+2nx - 8n^{2}=0$，
∴$x^{2}+2nx = 8n^{2}$，
∴$x^{2}+2nx + n^{2}=8n^{2}+n^{2}$，即$(x + n)^{2}=9n^{2}$，
∴$x + n=\pm3n$，
∴$x_{1}=2n$，$x_{2}=-4n$。

14. 配方法(2025·江苏镇江新区期中)阅读材料:关于$x$的二次多项式,当$x-t= 0$时,该多项式有最值,就称该多项式关于$x= t$平衡. 例如:由于$x^{2}-2x+3= (x-1)^{2}+2$,所以当$x-1= 0$时,多项式$x^{2}-2x+3有最小值2$,则称$x^{2}-2x+3关于x= 1$平衡;由于$-x^{2}-2x+3= -(x+1)^{2}+4$,所以当$x+1= 0$时,多项式$-x^{2}-2x+3有最大值4$,则称$-x^{2}-2x+3关于x= -1$平衡.
运用材料中定义解决下列问题:
(1)多项式$x^{2}+4x+1关于x= $-2平衡;
(2)若关于$x的多项式x^{2}-2 a x+4关于x= 5$平衡,则$a= $5;
(3)若关于$x的多项式x^{2}+a x+c关于x= -3$平衡,且最小值为$6$,求方程$x^{2}+a x+c= 7$的解.

答案：
(1)-2
(2)5
(3)
∵关于$x$的多项式$x^{2}+ax + c$关于$x=-3$平衡，且最小值为6，
∴$x^{2}+ax + c=(x + 3)^{2}+6=x^{2}+6x + 15$，
∴$x^{2}+ax + c = 7$可表示为$x^{2}+6x + 15 = 7$，
∴$x^{2}+6x + 8 = 0$，
∴$(x + 3)^{2}=1$，
∴$x_{1}=-2$或$x_{2}=-4$。

15. 数形结合思想 如图,在$\triangle A B C$中,$\angle A C B= 90^{\circ}$,以点$B$为圆心,$B C$长为半径画弧,交线段$A B于点D$,连接$C D$. 以点$A$为圆心,$A C$长为半径画弧,交线段$A B于点E$,连接$C E$.
(1)求$\angle D C E$的度数.45°
(2)设$B C= a$,$A C= b$.
①线段$B E的长是关于x的方程x^{2}+2 b x-a^{2}= 0$的一个根吗? 说明理由.是，理由如下：由勾股定理，得$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，∵$AE = AC = b$，∴$BE=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-b$。解关于$x$的方程$x^{2}+2bx - a^{2}=0$，得$x=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-b$，∴线段$BE$的长是关于$x$的方程$x^{2}+2bx - a^{2}=0$的一个根。
②若$D为A E$的中点,求$\frac{a}{b}$的值.$\frac{3}{4}$

答案：
(1)由作图知，$BC = BD$，$AC = AE$，
∴$\angle BCD=\angle BDC$，$\angle ACE=\angle AEC$。
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$\angle BCD+\angle ACE-\angle DCE = 90^{\circ}$。又在$\triangle DCE$中，$\angle BDC+\angle AEC+\angle DCE = 180^{\circ}$，三角形内角和定理
∴$90^{\circ}+2\angle DCE = 180^{\circ}$，
∴$\angle DCE = 45^{\circ}$。
(2)①线段$BE$的长是关于$x$的方程$x^{2}+2bx - a^{2}=0$的一个根。理由如下：由勾股定理，得$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，勾股定理使用的前提是直角三角形
∵$AE = AC = b$，
∴$BE=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-b$。解关于$x$的方程$x^{2}+2bx - a^{2}=0$，得$x=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-b$，
∴线段$BE$的长是关于$x$的方程$x^{2}+2bx - a^{2}=0$的一个根。
②
∵$D$为$AE$的中点，$AE = AC = b$，
∴$AD = DE=\frac{b}{2}$，
∴$AB=\frac{b}{2}+a$。由勾股定理，得$a^{2}+b^{2}=(\frac{b}{2}+a)^{2}$，整理，得$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$。两边同时除以$b$，一定要先判断$b\neq0$