《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. (2025·广东清远期中)已知平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}= 0$的两个实数根.
(1)当m为1时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长为$\frac{1}{2}$.
(2)若AB的长为2,则平行四边形ABCD的周长是5.
(3)若这个方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且$(x_{1}-3)(x_{2}-3)= 5m$,求m的值为$\frac{7}{6}$.

答案：
(1) 当 $AB=AD$ 时，四边形 $ABCD$ 是菱形，即方程 $x^{2}-$ $mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根相等，
$\therefore \Delta =m^{2}-4(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=0$，解得 $m=1$.
此时方程为 $x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$，解得 $x=\frac{1}{2}$.
$\therefore$ 这时菱形的边长为 $\frac{1}{2}$.
(2) 根据题意知 $\left\{\begin{array}{l} 2+AD=m,\\ 2AD=\frac{m}{2}-\frac{1}{4},\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} AD=\frac{1}{2},\\ m=\frac{5}{2},\end{array}\right.$
$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 的周长是 $2\times(2+\frac{1}{2})=5$.
(3) $\because$ 这个方程的两个实数根分别为 $x_{1},x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=m,x_{1}x_{2}=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$，
代入到 $(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9=5m$，可得 $\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-3m+9=5m$，解得 $m=\frac{7}{6}$.

12. 阅读材料:
材料1:关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两个实数根x_{1},x_{2}$和系数a,b,c,有如下关系:$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a},x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}$.
材料2:已知一元二次方程$x^{2}-x-1= 0$的两个实数根分别为m,n,求$m^{2}n+mn^{2}$的值.
解:$\because m,n是一元二次方程x^{2}-x-1= 0$的两个实数根,$\therefore m+n= 1,mn= -1$.
则$m^{2}n+mn^{2}= mn(m+n)= -1×1= -1$.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)应用:一元二次方程$2x^{2}+3x-1= 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=$$-\frac{3}{2}$,$x_{1}x_{2}=$$-\frac{1}{2}$;
(2)类比:已知一元二次方程$2x^{2}+3x-1= 0$的两个实数根为m,n,求$m^{2}+n^{2}$的值;
解：$\because$ 一元二次方程 $2x^{2}+3x-1=0$ 的两个实数根分别为 $m,n,\therefore m+n=-\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2}$，
$\therefore m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$.
(3)提升:已知实数s,t满足$2s^{2}+3s-1= 0,2t^{2}+3t-1= 0且s≠t$,求$\frac {1}{s}-\frac {1}{t}$的值.
解：$\because$ 实数 $s,t$ 满足 $2s^{2}+3s-1=0,2t^{2}+3t-1=0$，且 $s\neq t,\therefore s,t$ 是一元二次方程 $2x^{2}+3x-1=0$ 的两个实数根，$\therefore s+t=-\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2}$.
$\because (t-s)^{2}=(t+s)^{2}-4st=(-\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$，
$\therefore t-s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2},\therefore \frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{17}$.

答案：
(1) $-\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2) $\because$ 一元二次方程 $2x^{2}+3x-1=0$ 的两个实数根分别为 $m,n,\therefore m+n=-\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2}$，
$\therefore m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$.
(3) $\because$ 实数 $s,t$ 满足 $2s^{2}+3s-1=0,2t^{2}+3t-1=0$，且 $s\neq t,\therefore s,t$ 是一元二次方程 $2x^{2}+3x-1=0$ 的两个实数根，$\therefore s+t=-\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2}$.
$\because (t-s)^{2}=(t+s)^{2}-4st=(-\frac{3}{2})^{2}-4\times(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$，
$\therefore t-s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2},\therefore \frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t-s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{17}$.

13. (2024·内江中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-px+1= 0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}和x_{2}$.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$p,$x_{1}x_{2}=$1;
(2)求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}},x_{1}+\frac {1}{x_{1}}$;
$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=$p，$x_{1}+\frac {1}{x_{1}}=$p
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p+1$,求p的值.3

答案：
(1) $p$ 1
(2) $\because x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1,\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-px+1=0$ ($p$ 为常数) 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2},\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1=0$，
$\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$，即 $x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$.
(3) 由根与系数的关系得 $x_{1}+x_{2}=p,x_{1}x_{2}=1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1,\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p+1$.
$\therefore p^{2}-2=2p+1$，解得 $p_{1}=3,p_{2}=-1$.
当 $p=3$ 时，$\Delta =p^{2}-4=9-4=5＞0$；当 $p=-1$ 时，$\Delta =$ $p^{2}-4=-3＜0,\therefore p=3$.
知识拓展 一元二次方程根与系数的关系可以解决以下问题：① 不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；② 已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；③ 不解方程求关于根的式子的值，如求 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 等等；④ 判断两根的符号；⑤ 求作新方程；⑥ 由给出的两根满足的条件，确定字母的取值. 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑 $a\neq0,\Delta\geq0$ 这两个前提条件.