《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

12. (2023·宁波中考)如图,已知二次函数$y = x^{2}+bx + c图象经过点A(1,-2)和B(0,-5)$.
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当$y\leqslant-2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围.

答案：

(1)把A(1, - 2)和B(0, - 5)代入y = x²+bx + c，得$\begin{cases}1 + b + c = - 2\\c = - 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = - 5\end{cases}$.
∴二次函数的解析式为y = x²+2x - 5.
∵y = x²+2x - 5=(x + 1)² - 6，
∴顶点坐标为( - 1, - 6).
(2)如图，过点A作AC//x轴交抛物线于点C.
∵点A(1, - 2)关于对称轴直线x = - 1的对称点C的坐标为( - 3, - 2)，
∴当y≤ - 2时，x的取值范围是 - 3≤x≤1.

13. 分类讨论思想(2024·北京中考)在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y = ax^{2}-2a^{2}x(a\neq0)$.
(1)当$a = 1$时,求抛物线的顶点坐标；
(2)已知$M(x_{1},y_{1})和N(x_{2},y_{2})$是抛物线上的两点. 若对于$x_{1} = 3a$,$3\leqslant x_{2}\leqslant4$,都有$y_{1}\lt y_{2}$,求$a$的取值范围.

答案：

(1)将a = 1代入，得y = x² - 2x=(x - 1)² - 1，
∴顶点坐标为(1, - 1).
(2)由题意，得y₁ = a·(3a)² - 2a²·3a = 3a³，y₂ = ax₂² - 2a²x₂.
∵y₁＜y₂，
∴y₂ - y₁ = a(x₂² - 2ax₂ - 3a²)=a(x₂ - 3a)(x₂ + a)＞0.
①当a＞0时，(x₂ - 3a)(x₂ + a)＞0，
∴$\begin{cases}x₂ - 3a＞0\\x₂ + a＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x₂ - 3a＜0\\x₂ + a＜0\end{cases}$，解得x₂＞3a或x₂＜ - a.
∵3≤x₂≤4，
∴3a＜3或 - a＞4，
∴a＜1或a＜ - 4.
∵a＞0，
∴0＜a＜1.
②当a＜0时，(x₂ - 3a)(x₂ + a)＜0，
∴$\begin{cases}x₂ - 3a＞0\\x₂ + a＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x₂ - 3a＜0\\x₂ + a＞0\end{cases}$，解得3a＜x₂＜ - a.
∵3≤x₂≤4，
∴$\begin{cases}3a＜3\\ - a＞4\end{cases}$，解得a＜ - 4.
综上所述，0＜a＜1或a＜ - 4.
一题多解　问题
(2)还可利用数形结合的思想解答.
①当a＞0时，如图
(1)，M(x₁,y₁)和N(x₂,y₂)都在对称轴右侧，此时y随x增大而增大.
∵y₁＜y₂，
∴x₁＜x₂，
∴3a＜3，
∴0＜a＜1.

②当a＜0时，如图
(2)，M(x₁,y₁)在对称轴左侧，N(x₂,y₂)在对称轴右侧，点M(3a,y₁)关于对称轴的对称点M'( - a,y₁)在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随x增大而减小.
∵y₁＜y₂，
∴ - a＞4，
∴a＜ - 4.
综上所述，0＜a＜1或a＜ - 4.

14. (2023·丽水中考)已知点$(-m,0)和(3m,0)在二次函数y = ax^{2}+bx + 3(a,b$是常数,$a\neq0)$的图象上.
(1)当$m = -1$时,求$a和b$的值；
(2)若二次函数的图象经过点$A(n,3)且点A$不在坐标轴上,当$-2\lt m\lt-1$时,求$n$的取值范围；
(3)求证：$b^{2}+4a = 0$.
(1)当m = - 1时，二次函数y = ax²+bx + 3图象过点(1,0)和( - 3,0)，∴$\begin{cases}a + b + 3 = 0\\9a - 3b + 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = -2\end{cases}$，∴a的值是-1，b的值是-2.
(2)∵y = ax²+bx + 3图象过点( - m,0)和(3m,0)，∴抛物线的对称轴为直线x = m. ∵y = ax²+bx + 3的图象过点A(n,3)，(0,3)，且点A不在坐标轴上，∴抛物线的对称轴也为$\frac{n}{2}$，∴m = $\frac{n}{2}$. ∵ - 2＜m＜ - 1，∴ - 2＜$\frac{n}{2}$＜ - 1，∴n的取值范围是-4＜n＜-2.
(3)∵抛物线对称轴为直线x = m，∴ - $\frac{b}{2a}$ = m，∴b = - 2am. 把( - m,0)，(3m,0)分别代入y = ax²+bx + 3，得$\begin{cases}am² - bm + 3 = 0①\\9am² + 3bm + 3 = 0②\end{cases}$，①×3 + ②，得12am²+12 = 0，∴am²+1 = 0，∴b²+4a=( - 2am)²+4a = 4a(am²+1)=4a×0 = 0.即证得$b^{2}+4a = 0$.

答案：
(1)当m = - 1时，二次函数y = ax²+bx + 3图象过点(1,0)和( - 3,0)，
∴$\begin{cases}a + b + 3 = 0\\9a - 3b + 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = - 1\\b = - 2\end{cases}$，
∴a的值是 - 1，b的值是 - 2.
(2)
∵y = ax²+bx + 3图象过点( - m,0)和(3m,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x = m.
∵y = ax²+bx + 3的图象过点A(n,3)，(0,3)，且点A不在坐标轴上，
∴抛物线的对称轴也为$\frac{n}{2}$，
∴m = $\frac{n}{2}$.
∵ - 2＜m＜ - 1，
∴ - 2＜$\frac{n}{2}$＜ - 1，
∴ - 4＜n＜ - 2.
(3)
∵抛物线对称轴为直线x = m，
∴ - $\frac{b}{2a}$ = m，
∴b = - 2am. 把( - m,0)，(3m,0)分别代入y = ax²+bx + 3，得$\begin{cases}am² - bm + 3 = 0①\\9am² + 3bm + 3 = 0②\end{cases}$，①×3 + ②，得12am²+12 = 0，
∴am²+1 = 0，
∴b²+4a=( - 2am)²+4a = 4a(am²+1)=4a×0 = 0.
思路引导　
(1)利用待定系数法可得a，b的值；
(2)根据图象上点的坐标特征，可知抛物线的对称轴为直线x = m，由已知图象过点A，且点A不在坐标轴上，得到m，n间的关系，再根据m的范围求出n的范围；
(3)由对称轴得到a，b，m间的关系，即b = - 2am，由图象上点的坐标特征得到am²+1 = 0，即可证明出结论.

15. 数形结合思想(2024·淮安中考)二次函数$y = ax^{2}+bx + c的图象经过点A(0,8)$,顶点为$P$.
(1)$c = $____.
(2)当$a= \frac{1}{4}$时,
①若顶点$P到x$轴的距离为10,则$b = $____.
②直线$m过点(0,2b)且垂直于y$轴,顶点$P到直线m的距离为h$. 随着$b$的增大,$h$的值如何变化？请描述变化过程,并说明理由.
(3)若二次函数图象交$x轴于B$,$C$两点,点$B坐标为(8,0)$,且$\triangle ABC$的面积不小于20,求$a$的取值范围.

答案：

(1)8
(2)①±3$\sqrt{2}$ [解析]当a = $\frac{1}{4}$时，抛物线的解析式为y = $\frac{1}{4}$x²+bx + 8.
∵顶点P到x轴的距离为10，
∴|yₚ| = 10，
∴$\left|\frac{4\times\frac{1}{4}\times8 - b²}{4\times\frac{1}{4}}\right| = 10$，解得b = ±3$\sqrt{2}$.
②顶点P的纵坐标为c - $\frac{b²}{4a}$ = 8 - b²，则h = |yₚ - 2b|=|8 - b² - 2b|=|b²+2b - 8|. 令h = 0，则b = 2或 - 4，函数h的大致图象如图：

从图象看，当b＞2或 - 4＜b＜ - 1时，h随b的增大而增大，当b＜ - 4或 - 1＜b＜2时，h随b的增大而减小.
(3)由题意知S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·OA = $\frac{1}{2}$BC×8≥20，
∴BC≥5. 设抛物线的对称轴直线x = - $\frac{b}{2a}$与x轴交点为E，则BE≥$\frac{5}{2}$. 把B(8,0)和c = 8代入y = ax²+bx + c，得64a + 8b + 8 = 0，
∴b = - 1 - 8a，
∴8 + $\frac{ - 1 - 8a}{2a}$≥$\frac{5}{2}$或8 + $\frac{ - 1 - 8a}{2a}$≤ - $\frac{5}{2}$. 解得a≥$\frac{1}{3}$或a≤$\frac{1}{13}$且a≠0.