《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 教材P106练习T3·变式(2024·北京十一中三模)半径为R的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为( ).
A. $ 1:\sqrt{2} $
B. $ 1:2 $
C. $ 1:\sqrt{3} $
D. $ \sqrt{3}:1 $

答案：
C　[解析]如图
(1),过点O作OD⊥BC于点D,连接OB.
∵△ABC是正三角形,且是半径为R
的⊙O的内接正三角形,
∴∠OBD=60°×$\frac{1}{2}$=30°,
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$R.
如图
(2),过点A作OE⊥BC于点E,连接OB,OA.
∵六边形是半径为R的圆的内接正六边形,
∴∠AOB=60°,OA=OB=R,
∴△AOB是正三角形,
∴∠AOE=30°,
∴AE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{R}{2}$,
∴OE=$\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R,
∴圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为($\frac{1}{2}$R):($\frac{\sqrt{3}}{2}$R)=1:$\sqrt{3}$.故选C.

2. (2024·镇江中考)如图,AB是$ \odot O $的内接正n边形的一边,点C在$ \odot O $上,$ ∠ACB= 18^{\circ} $,则$ n= $____10.

答案： 10

3. 中考新考法 归纳一般结论(2024·浙江台州临海期中)如果一个多边形的各边都相等,且各内角也都相等,那么这个多边形就叫做正多边形,如图是一组正多边形,观察每个正多边形中$ ∠α $的变化情况,解答下列问题.
(1)将下面的表格补充完整;

(2)根据规律,是否存在一个正n边形,使其中的$ ∠α=16^{\circ} $.若存在,直接写出n的值;若不存在,请说明理由.

(1)45°36°30°($\frac{180}{n}$)°
(2)不存在一个正n边形,使其中的∠α=16°.理由如下:令($\frac{180}{n}$)°=16°,解得n=11.25.
又n为大于等于3的正整数,
所以不存在这样的正n边形,使其中的∠α=16°.

答案：
(1)45°　36°　30°　($\frac{180}{n}$)°
(2)不存在一个正n边形,使其中的∠α=16°.理由如下:令($\frac{180}{n}$)°=16°,解得n=11.25.
又n为大于等于3的正整数,
所以不存在这样的正n边形,使其中的∠α=16°.
思路引导　
(1)由所给图形依次求出∠α的度数，根据发现规律即可解决问题;
(2)由
(1)发现的规律即可解决问题.

4. (2024·青岛中考)为筹备运动会,小松制作了如图所示的宣传牌,在正五边形ABCDE和正方形CDFG中,CF,DG的延长线分别交AE,AB于点M,N,则$ ∠FME $的度数是(B).

A. $ 90^{\circ} $
B. $ 99^{\circ} $
C. $ 108^{\circ} $
D. $ 135^{\circ} $

答案： B

5. 教材P123复习题T5·变式(2025·河北石家庄长安区期末)两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置,则点A的坐标是( ).

A. $ (2\sqrt{3},2\sqrt{3}) $
B. $ (3,4) $
C. $ (4,2\sqrt{3}) $
D. $ (2\sqrt{3},4) $

答案：
D　[解析]如图，设左边正六边形的中心为C,连接CD,AB.由题意,得∠BCD=$\frac{360^{\circ}}{6}$=60°,
CB=CD=2.
∴△BCD是等边三角形,
∴∠CDB=60°,CD=2.
∵正六边形的一个内角度数为
$\frac{180°×(6−2)}{6}$=120°,
∴∠ADB=360°−120°−120°=120°,
∴∠CDB+∠ADB=180°,
∴A,C,D三点共线.
∵AD=BD=2,
∴∠DAB=∠DBA=$\frac{180°−∠ADB}{2}$=30°,
∴∠ABC=90°,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}$=2$\sqrt{3}$
∵OB=OC+BC=4,
∴点A的坐标为(2$\sqrt{3}$,4).故选D

6. 传统文化 割圆术(2023·福建中考)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图,$ \odot O $的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计$ \odot O $的面积,可得π的估计值为$ \frac{3\sqrt{3}}{2} $,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为( ).

A. $ \sqrt{3} $
B. $ 2\sqrt{2} $
C. 3
D. $ 2\sqrt{3} $

答案：
C　[解析]如图,AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心,过点A作
AM⊥OB于点M.在正十二边形中，
∠AOB=360°÷12=30°,
∴AM=$\frac{1}{2}$OA=
$\frac{1}{2}$,
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OB·AM=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=
$\frac{1}{4}$,
∴正十二边形的面积为12×$\frac{1}{4}$=3,
∴3=1²×π,
∴π=3,
∴π的估计值为3.故选C;