《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2024·贵州中考)如图,在扇形纸扇中,若$∠AOB= 150^{\circ },OA= 24$,则$\widehat {AB}$的长为(C).

A. 30π
B. 25π
C. 20π
D. 10π

答案： C

2. (2025·江苏扬州梅岭中学教育集团期中)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },AB= 6cm,BC= 15cm$,分别以A,C为圆心,以AB的长为半径作圆,从$Rt△ABC$中剪掉这两个半径相等的扇形,则阴影部分的面积为____$(45 - 9\pi)$$cm^{2}$.(结果保留π)

答案： $(45 - 9\pi)$

3. (2024·北京顺义区期末)如图,AB是$\odot O$的直径,$CD⊥AB$于点E,$\widehat {AC}= \widehat {CD}$.
(1)求证:$∠COB= ∠DOB;$
(2)若$\odot O$的半径为2,求OE=1,$\widehat {CD}$的长=$\frac{4}{3}\pi$.

答案：
(1) $\because$ 直径 $AB \perp CD$，$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$，$\therefore \angle COB = \angle DOB$。
(2) $\because$ 直径 $AB \perp CD$，$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$。
$\because \overset{\frown}{CA} = \overset{\frown}{CD}$，$\therefore \overset{\frown}{CD}$ 的度数 $= \frac{1}{3} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle COD = 120^{\circ}$，$\because OC = OD$，
$\therefore \angle C = \angle D = \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 120^{\circ}) = 30^{\circ}$。
$\because \angle OEC = 90^{\circ}$，$\therefore OE = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2} \times 2 = 1$。
$\because \odot O$ 的半径为 $2$，$\angle COD = 120^{\circ}$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$ 的长 $= \frac{120\pi \times 2}{180} = \frac{4}{3}\pi$。

4. (2024·广安中考)如图,在等腰三角形ABC中,$AB= AC= 10,∠C= 70^{\circ }$,以AB为直径作半圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则$\widehat {DE}$的长度为(C).

A. $\frac {π}{9}$
B. $\frac {5π}{9}$
C. $\frac {10π}{9}$
D. $\frac {25π}{9}$

答案： C [解析] 连接 $OD$，$OE$。
$\because AB = AC$，$\angle C = 70^{\circ}$，$\therefore \angle ABC = \angle C = 70^{\circ}$。
$\because OE = OB$，$\therefore \angle OEB = \angle ABC = 70^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$。
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle A = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$，
$OA = OD = \frac{1}{2}AB = 5$，$\therefore \angle BOD = 2\angle A = 80^{\circ}$，
$\therefore \angle DOE = \angle BOD - \angle BOE = 40^{\circ}$，$\therefore \overset{\frown}{DE}$ 的长 $= \frac{40\pi \times 5}{180} = \frac{10\pi}{9}$。故选 C。
归纳总结 弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径，知道其中的任何两个量就可以求出第三个量。

5. 传统文化 会圆术 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,$\widehat {AB}$是以点O为圆心、OA为半径的圆弧,N是AB的中点,$MN⊥AB$.“会圆术”给出$\widehat {AB}$的弧长l的近似值计算公式：$l= AB+\frac {MN^{2}}{OA}$.当$OA= 4,∠AOB= 60^{\circ }$时,则l的值为(B).

A. $11-2\sqrt {3}$
B. $11-4\sqrt {3}$
C. $8-2\sqrt {3}$
D. $8-4\sqrt {3}$

答案： B [解析] 连接 $ON$，$\because \overset{\frown}{AB}$ 是以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径的圆弧，$N$ 是 $AB$ 的中点，$MN \perp AB$，$\therefore ON \perp AB$，$\therefore M$，$N$，$O$ 三点共线。$\because OA = 4$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AOB$ 是等边三角形，$\therefore OA = AB = 4$，$\angle OAN = 60^{\circ}$，
$\therefore ON = 2\sqrt{3}$，$\therefore MN = OM - ON = 4 - 2\sqrt{3}$，
$\therefore l = AB + \frac{MN^2}{OA} = 4 + \frac{(4 - 2\sqrt{3})^2}{4} = 11 - 4\sqrt{3}$。故选 B。

6. (重庆两江新区自主招生)在矩形ABCD中,以D为圆心,DA为半径画弧,交CD于点E,再以CD为直径作半圆交弧AE于点F,连接CF,EF,若$AB= 2AD= 10$,则图中阴影部分的面积为____.

答案：
$\frac{25\pi}{2} - \frac{25\sqrt{3}}{2}$ [解析] 如图，连接 $DF$，过点 $E$ 作 $EM \perp CF$ 于点 $M$，过点 $E$ 作 $EN \perp DF$ 于点 $N$。
$\because AB = 2AD = 10$，$\therefore AD = 5$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形，$\therefore AB = CD = 10$。
根据题意，得 $DE = DF = AD = 5$，$EF = ED = EC = \frac{1}{2}CD = 5$，$\therefore DE = DF = EF$，$\therefore \triangle DEF$ 是等边三角形。
又 $EN \perp DF$，$\therefore DN = \frac{1}{2}DF = \frac{5}{2}$，$\angle DEF = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle CEF = 180^{\circ} - \angle DEF = 120^{\circ}$。
$\because EC = EF$，$EM \perp CF$，
$\therefore \angle FEM = \angle CEM = \frac{1}{2}\angle CEF = 60^{\circ}$，$CF = 2FM$，
$\therefore \angle EFM = 30^{\circ}$，$\therefore EM = \frac{1}{2}EF = \frac{5}{2}$，$\therefore FM = \sqrt{EF^2 - EM^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\therefore CF = 2FM = 5\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\triangle EFC} = \frac{1}{2}CF \cdot EM = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{3} \times \frac{5}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$。
在 $Rt\triangle END$ 中，$DE = 5$，$DN = \frac{5}{2}$，
$\therefore EN = \sqrt{DE^2 - DN^2} = \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{\triangle DEF} = \frac{1}{2}DF \cdot EN = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$，
$\therefore$ 图中阴影部分的面积 $= S_{扇形EFC} - S_{\triangle EFC} + S_{扇形DEF} - S_{\triangle DEF} = \frac{120\pi \times 5^2}{360} - \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{60\pi \times 5^2}{360} - \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{25\pi}{2} - \frac{25\sqrt{3}}{2}$。