《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. 教材P89习题T5·变式(2024·临夏州中考)如图,AB是$\odot O$的直径,$∠E= 35^{\circ }$,则$∠BOD= $(D).

A. $80^{\circ }$
B. $100^{\circ }$
C. $120^{\circ }$
D. $110^{\circ }$

答案： D

2. (2024·重庆中考)如图,AB是$\odot O$的弦,$OC⊥AB交\odot O$于点C,点D是$\odot O$上一点,连接BD,CD.若$∠D= 28^{\circ }$,则$∠OAB$的度数为(B).

A. $28^{\circ }$
B. $34^{\circ }$
C. $56^{\circ }$
D. $62^{\circ }$

答案： B

3. 中考新考法 利用工具进行操作探究如图,将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板的一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合,AB对应的圆心角($∠AOB$)为$120^{\circ }$,OC的长为3,则图中AB的长是____.

答案：
$6\sqrt{3}$ [解析]由题意，知$\angle AOB = 120^{\circ}$，$\angle OCB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle OBC=\angle AOB - \angle OCB = 120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because OC = 3$，$\therefore OB = 2OC = 6$，
$\therefore BC=\sqrt{OB^{2}-OC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$。如图，连接AB。
$\because \angle AOB = 120^{\circ}$，$OA = OB$，$\therefore \angle BAO=\angle ABO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=30^{\circ}$，即在$Rt\triangle ACB$中，$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\therefore AB = 2BC = 6\sqrt{3}$

4. 教材P88练习T3·变式如图,OA,OB,OC都是$\odot O$的半径,$∠ACB= 2∠BAC.$
(1)求证:$∠AOB= 2∠BOC;$
(2)若$AB= 4,OA= \frac {5}{2}$,求BC的长.

答案：

(1)$\because \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$，$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$，$\angle ACB = 2\angle BAC$，$\therefore \angle AOB = 2\angle BOC$。
(2)如图，过点O作半径$OD\perp AB$于点E，连接DB，$\therefore AE = BE$。
$\because \angle AOB = 2\angle BOC$，$\angle DOB=\frac{1}{2}\angle AOB$，$\therefore \angle DOB=\angle BOC$，$\therefore BD = BC$。
设$BC = BD = x$。
$\because AB = 4$，$\therefore BE = 2$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle DEB = 90^{\circ}$，
$\therefore DE=\sqrt{x^{2}-4}$。
在$Rt\triangle BOE$中，$\angle OEB = 90^{\circ}$，$OD = OB=\frac{5}{2}$，$OB^{2}=(OD - DE)^{2}+BE^{2}$，即$(\frac{5}{2})^{2}=(\frac{5}{2}-\sqrt{x^{2}-4})^{2}+2^{2}$，解得$x=\sqrt{5}$（$\pm 2\sqrt{5}$，$-\sqrt{5}$舍去），即BC的长为$\sqrt{5}$。

5. (2023·杭州中考)如图,在$\odot O$中,半径OA,OB互相垂直,点C在劣弧AB上.若$∠ABC= 19^{\circ }$,则$∠BAC$等于(D).

A. $23^{\circ }$
B. $24^{\circ }$
C. $25^{\circ }$
D. $26^{\circ }$

答案： D [解析]连接OC。$\because \angle ABC = 19^{\circ}$，$\therefore \angle AOC = 2\angle ABC = 38^{\circ}$。
$\because$半径OA，OB互相垂直，$\therefore \angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BOC = 90^{\circ}-38^{\circ}=52^{\circ}$，$\therefore \angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC = 26^{\circ}$。故选D。

6. (湖南株洲二中自主招生)如图,点A,B,C,D,E均在$\odot O$上,$∠A= 30^{\circ },∠O= 48^{\circ }$,则$∠E= $____$^{\circ }$.

答案：
54 [解析]如图，连接BO，$\because \angle BOC = 2\angle A$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BOC = 2\times30^{\circ}=60^{\circ}$。
又$\angle E=\frac{1}{2}\angle BOD=\frac{1}{2}(\angle BOC+\angle COD)$，而$\angle COD = 48^{\circ}$，$\therefore \angle E=\frac{1}{2}\times(60^{\circ}+48^{\circ})=54^{\circ}$。

7. (山东淄博张店七中自主招生)如图,AB,CD是$\odot O$的两条相等的弦,劣弧AD,劣弧BC的度数分别为$30^{\circ },120^{\circ }$,P为劣弧AB上一点,则$∠APB= $____127.5____$^{\circ }$.

答案： 127.5 [解析]$\because AB$，CD是$\odot O$的两条相等的弦，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
$\because \overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}$的度数分别为$30^{\circ}$，$120^{\circ}$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=360^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ}=210^{\circ}$，$\therefore \overset{\frown}{AB}$的度数为$105^{\circ}$，
$\therefore$优弧AB的度数为$360^{\circ}-105^{\circ}=255^{\circ}$，$\therefore \angle APB=\frac{1}{2}\times255^{\circ}=127.5^{\circ}$。

8. (2024·杭州上城区采荷实验中学二模)如图(1),AB是$\odot O$的直径,E是OA的中点,$OA= 2$,过点E作$CD⊥AB交\odot O$于C,D两点.
(1)$\widehat {BC}$的度数为____;
(2)如图(2),点P为劣弧BC上一个动点(不与B,C重合),连接AP,CP,点Q在AP上,当$AQ= x$时,CQ平分$∠PCD$,则x的值为____.

答案：

(1)$120^{\circ}$ [解析]连接OC，$\because OA = 2$，$\therefore OC = OA = 2$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，E是OA的中点，且$CD\perp AB$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA = 1$，$\angle OEC = 90^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle OCE$中，$OE=\frac{1}{2}OC$，
$\therefore \angle OCE = 30^{\circ}$，$\angle COE = 60^{\circ}$，$\therefore \angle BOC = 180^{\circ}-\angle COE = 120^{\circ}$即$\overset{\frown}{BC}$的度数为$120^{\circ}$。
(2)2 [解析]连接AC，OC，如图。
由
(1)可知$\angle COE = 60^{\circ}$，
又$OA = OC = 2$，
$\therefore \triangle OAC$为等边三角形，
$\therefore AC = OA = OC = 2$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\therefore \angle ACD=\angle P$。
$\because CQ$平分$\angle PCD$，$\therefore \angle DCQ=\angle PCQ$，
$\therefore \angle ACQ=\angle ACD+\angle DCQ=\angle P+\angle PCQ$。
又$\angle AQC=\angle P+\angle PCQ$，$\therefore \angle ACQ=\angle AQC$，
$\therefore AQ = AC = 2$，$\therefore x$的值为2。