《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·天津河东区期末)如图,在扇形 OAB 中,已知$∠AOB= 90^{\circ },OA= \sqrt {2}$,过$\widehat {AB}$的中点 C 作$CD⊥OA,CE⊥OB$,垂足分别为 D,E,则图中阴影部分的面积为$\frac{\pi}{2}-1$.

答案： $\frac{\pi}{2}-1$

2. (2024·武威模拟)如图,AB 为$\odot O$的直径,AC 是$\odot O$的一条弦,D 为$\widehat {BC}$的中点,作$DE⊥AC$于点 E,交 AB 的延长线于点 F,连接 DA.
(1)若$AB= 90cm$,则圆心 O 到 EF 的距离是多少? 说明你的理由.
(2)若$DA= DF= 6\sqrt {3}$,求阴影部分的面积(结果保留 π).

答案：

(1)如图,连接 $OD$,
$\because D$ 为 $\overparen{BC}$ 的中点, $\therefore \angle CAD=\angle BAD$.
$\because OA=OD, \therefore \angle BAD=\angle ADO$,
$\therefore \angle CAD=\angle ADO, \therefore OD // AE. \because DE \perp AC, \therefore OD \perp EF$,
$\therefore OD$ 的长是圆心 $O$ 到 $EF$ 的距离.
$\because AB=90 \mathrm{~cm}, \therefore OD=\frac{1}{2} AB=45 \mathrm{~cm}$.
(2)如图,过点 $O$ 作 $OG$
$\perp AD$ 于点 $G$.
$\because DA=DF$,
$\therefore \angle F=\angle BAD$.
由
(1)得 $\angle CAD=\angle BAD$,
$\therefore \angle F=\angle CAD$.
$\because \angle F+\angle BAD+ \angle CAD=90^{\circ}$,
$\therefore \angle F=\angle BAD=\angle CAD=30^{\circ}$,
$\therefore \angle BOD=2 \angle BAD=60^{\circ}, OF=2 OD$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt} \triangle O D F$ 中, $O F^2 - O D^2 = D F^2$,
$\therefore(2 O D)^2 - O D^2=(6 \sqrt{3})^2$, 解得 $O D=6$ (负值舍去),
在 $\mathrm{Rt} \triangle O A G$ 中, $O A=O D=6, \angle O A G=30^{\circ}$,
$\therefore O G=\frac{1}{2} \times 6=3, \therefore S_{\triangle A O D}=\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} \times 3=9 \sqrt{3}$,
$\therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } O B D}+S_{\triangle A O D}=\frac{60 \pi \times 6^2}{360}+9 \sqrt{3}=6 \pi+9 \sqrt{3}$.

3. 转化思想 如图,已知 AB 是$\odot O$的直径,点 C,D 在$\odot O$上,$∠D= 60^{\circ }且AB= 6$,过点 O 作$OE⊥AC交\odot O$于点 F,垂足为 E.
(1)$∠CAB$的度数为____;
(2)求 OE 的长;
(3)求阴影部分的面积.

答案：

(1) $30^{\circ}$ [解析] $\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore \angle A C B=90^{\circ}$.
$\because \angle B=\angle D=60^{\circ}, \therefore \angle C A B=90^{\circ}-\angle B=30^{\circ}$.
(2) $\because A B=6, \therefore O A=\frac{1}{2} A B=3$.
$\because O F \perp A C, \therefore \angle A E O=90^{\circ}$.
$\because \angle B A C=30^{\circ}, \therefore O E=\frac{1}{2} O A=1.5$.
(3)如图,连接 $O C$,
$\because \angle A E O=90^{\circ}, \angle C A B=30^{\circ}$,
$\therefore \angle A O E=60^{\circ}$.
$\because O F=O A$,
$\therefore \triangle O A F$ 是等边三角形,
$\therefore O E=E F, \angle A O F=60^{\circ}$.
$\because \angle C E O=\angle A E F=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle O E C \cong \triangle F E A(S A S)$,
$\therefore$ 阴影部分的面积 $=$ 扇形 $O C F$ 的面积.
$\because \angle B=60^{\circ}, O C=O B, \therefore \triangle O B C$ 是等边三角形,
$\therefore \angle B O C=60^{\circ}, \therefore \angle C O F=180^{\circ}-\angle A O F-\angle B O C=60^{\circ}$,
$\therefore$ 扇形 $O C F$ 的面积 $=\frac{60 \pi \times 3^2}{360}=\frac{3 \pi}{2}$.
$\therefore$ 阴影部分的面积为 $\frac{3 \pi}{2}$.

4. (2025·四川眉山东坡区期中)如图是由一个长、宽分别为 8 厘米和 6 厘米的长方形,两个半径分别为 6 厘米和 8 厘米的扇形组成的图形,那么阴影部分的面积是____(25π-48)平方厘米.

答案： $(25 \pi-48)$ 平方厘米 [解析] $S_{\text {阴影 }}=\frac{1}{4} \times \pi \times 8^2+\frac{1}{4} \times \pi \times 6^2 - 8 \times 6=\pi \times 16+\pi \times 9 - 48=(25 \pi-48)$ 平方厘米.

5. (2025·广东深圳高级中学期中改编)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 4,BC= 6$,分别以 AC,BC 为直径作半圆,求图中阴影部分的面积.

$\frac{13}{2} \pi - 12$

答案： 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积,
即阴影部分的面积 $=\frac{1}{2} \pi \times\left(\frac{4}{2}\right)^2+\frac{1}{2} \pi \times\left(\frac{6}{2}\right)^2 - 4 \times 6 \times \frac{1}{2}=\frac{13}{2} \pi - 12$.