《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2023·东营中考)如果圆锥侧面展开图的面积是$15π$,母线长是5,则这个圆锥的底面半径是(A).
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： A

2. (2024·无锡中考)已知圆锥的底面圆半径为3,母线长为4,则圆锥的侧面积为(B).
A. $6π$
B. $12π$
C. $15π$
D. $24π$

答案： B

3. 若一个圆锥的母线长为5cm,它的侧面展开图的圆心角为$120^{\circ }$,则这个圆锥的底面半径为$\frac{5}{3}$cm.

答案： $\frac{5}{3}$

4. 新情境 编织草帽 草帽:是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品.如图,某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、高为20cm的锥形草帽.粘贴时,彩色卡纸恰好覆盖草帽外表,而且卡纸连接处无缝隙、不重叠.
(1)这顶锥形草帽的底面半径为15cm,侧面积为375π$cm^{2}$;(结果保留$π$)
(2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数.

答案：
(1)15 $375\pi$
(2)设扇形卡纸的圆心角的度数为$n^{\circ}$.
由题意,得$\frac{n\pi\times25}{180}=2\pi\times15$,解得$n = 216$.
故所需扇形卡纸的圆心角的度数为$216^{\circ}$.

5. 如图,格点纸中每个小正方形的边长均为1,以小正方形的顶点为圆心、2为半径做了一个扇形,用该扇形围成一个圆锥的侧面,针对此做法,小明和小亮通过计算得出以下结论:小明说此圆锥的侧面积为$\frac {5}{6}π$;小亮说此圆锥的底面周长为$\frac {5}{3}π$,则下列结论正确的是( ).

A. 只有小亮对
B. 只有小明对
C. 两人都对
D. 两人都不对

答案：
A [解析]如图,由题意知,$OB = 2$,$OA = 1$,$\angle OAB = 90^{\circ}$.
$\because\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$,$\therefore\angle ABO = 30^{\circ}$,
$\therefore\angle AOB = 60^{\circ}$,$\therefore$该扇形的圆心角为$60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$,
$\therefore S_{扇形}=\frac{150\times\pi\times2^{2}}{360}=\frac{5}{3}\pi$,扇形弧长$=\frac{150\times\pi\times2}{180}=\frac{5}{3}\pi$,$\therefore$圆锥的侧面积为$\frac{5}{3}\pi$,圆锥的底面周长为$\frac{5}{3}\pi$,$\therefore$小明错误,小亮正确.故选A.

6. 传统文化 《九章算术》 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问:米堆的体积和堆放的米各为多少?”那么这个米堆遮挡的墙面面积为(A).

A. $\frac {80}{π}$平方尺
B. $\frac {160}{π}$平方尺
C. $\frac {128}{π}$平方尺
D. $45π$平方尺

答案： A [解析]设圆锥的底面半径为$r$尺,由米堆底部的弧长为8尺,可得$\frac{1}{4}\times2\pi r = 8$,解得$r=\frac{16}{\pi}$,$\therefore2\times\frac{1}{2}\times\frac{16}{\pi}\times5=\frac{80}{\pi}$(平方尺),$\therefore$这个米堆遮挡的墙面面积为$\frac{80}{\pi}$平方尺.故选A.

7. (2024·徐州中考)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平,所得扇形的面积为$4πcm^{2}$,圆心角$\theta为90^{\circ }$,圆锥的底面圆的半径为______1 cm.

答案： 1 cm [解析]设扇形的半径为$R$ cm,弧长为$l$ cm,
由题意,得$\frac{90\pi\times R^{2}}{360}=4\pi$,解得$R = 4$(负值舍去),
$\therefore l=\frac{90\pi\times4}{180}=2\pi$(cm),
$\therefore$圆锥的底面圆的半径为$2\pi\div2\pi = 1$(cm).

8. (2025·江苏南京联合体期中)如图,在正方形网格中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过格点$A(0,4),B(-4,4),C(-6,2)$,该圆弧所在圆的圆心为$P$.
(1)点$P$的坐标为______,$\odot P$的半径为______;
(2)若扇形$PAC$是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径为______.

答案：

(1)$(-2,0)$ $2\sqrt{5}$ [解析]如图,根据网格,分别作$AB$,$BC$的垂直平分线相交于点$P$,点$P$的坐标为$(-2,0)$,

$PA=\sqrt{OA^{2}+OP^{2}}=2\sqrt{5}$,即$\odot P$的半径为$2\sqrt{5}$.
(2)$\frac{\sqrt{5}}{2}$ [解析]如图,易证$\triangle AOP\cong\triangle PDC(SAS)$,
$\therefore\angle OAP=\angle DPC$.
$\because\angle OAP+\angle OPA = 90^{\circ}$,$\therefore\angle DPC+\angle OPA = 90^{\circ}$,
$\therefore\angle APC = 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,$\therefore\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{90\pi\times2\sqrt{5}}{180}=\sqrt{5}\pi$.
设圆锥的底面圆的半径为$r$,则$2\pi r=\sqrt{5}\pi$,
解得$r=\frac{\sqrt{5}}{2}$,即圆锥的底面圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.