《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

8. (2023·东营中考)如图,老李想用长为70m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈?
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈.
(2)羊圈的面积能达到$650m^{2}$吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答：不能.理由如下:
由题意,得$x(72 - 2x)=650$,化简,得$x^{2}-36x + 325 = 0$,
$\Delta=(-36)^{2}-4×325=-4＜0$,∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到$650m^{2}$.

答案：
(1)设矩形$ABCD$的边$AB = x$m,则边$BC = 70 - 2x + 2=(72 - 2x)$m.根据题意,得$x(72 - 2x)=640$,
化简,得$x^{2}-36x + 320 = 0$,解得$x_{1}=16,x_{2}=20$.
当$x = 16$时,$72 - 2x = 72 - 32 = 40$;
当$x = 20$时,$72 - 2x = 72 - 40 = 32$.
故当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时,能围成一个面积为$640m^{2}$的羊圈.
(2)不能.理由如下:
由题意,得$x(72 - 2x)=650$,化简,得$x^{2}-36x + 325 = 0$,
$\Delta=(-36)^{2}-4\times325=-4＜0$,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到$650m^{2}$.

9. (福建泉州华侨中学自主招生)用总长680cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图),已知该置物架上面部分为正方形ABFE,下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH,中间部分为矩形EFHG.已知$DG= 60cm$,设正方形的边长$AB= xcm$.
(1)当$x= 72$时,EG的长为34cm;
(2)置物架ABCD的高AD的长为310 - 2xcm;(用含x的代数式表示)
(3)为了便于置放物品,EG的高度不小于22cm,若矩形ABCD的面积为$12000cm^{2}$,求x的值.75

答案：
∵矩形$DGMN$和矩形$CNMH$全等,
∴$MN = CH = DG = 60$cm.
若$AB = x$cm,则$AE = BF = EF = CD = GH = x$cm,
∴$EG=\frac{680 - 6x - 3\times60}{2}=(250 - 3x)$cm.
(1)34 [解析]当$x = 72$时,$EG = 250 - 3x = 250 - 3\times72 = 34$(cm).
(2)$(310 - 2x)$ [解析]依题意,得$AD=\frac{680 - 4AB - MN}{2}=\frac{680 - 4x - 60}{2}=(310 - 2x)$cm.
(3)依题意,得$x(310 - 2x)=12000$,
整理,得$x^{2}-155x + 6000 = 0$,解得$x_{1}=75,x_{2}=80$.
∵$EG$的高度不小于22cm,即$250 - 3x\geq22$,
∴$x\leq76$,
∴$x_{2}=80$不合题意,舍去.故$x$的值为75.

10. 分类讨论思想 如图,A,B,C,D为矩形的4个顶点,$AB= 16cm,BC= 6cm$,动点P,Q分别以3cm/s,2cm/s的速度从点A,C同时出发,点Q从点C向点D移动.
(1)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,点P,Q分别从点A,C同时出发,问经过多长时间P,Q两点之间的距离是10cm?
(2)若点P沿着$AB→BC→CD$移动,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探究经过多长时间$\triangle PBQ的面积为12cm^{2}$?
(1)经过$\frac{8}{5}$s或$\frac{24}{5}$sP,Q两点之间的距离是10cm.
(2)经过4s或6s$\triangle PBQ$的面积为$12cm^{2}$.

答案：
(1)如图,过点$P$作$PE\perp CD$于点$E$.
设经过$x$s,$P,Q$两点之间的距离是10cm.
根据题意,得$EQ = |16 - 2x - 3x|$cm,
$PE = BC = 6$cm.
则$(16 - 2x - 3x)^{2}+6^{2}=10^{2}$,
∴$(16 - 5x)^{2}=64$,
∴$16 - 5x=\pm8$,
解得$x_{1}=\frac{8}{5},x_{2}=\frac{24}{5}$,
∴经过$\frac{8}{5}$s或$\frac{24}{5}$s,$x\leq\frac{16}{3}$是前提
$P,Q$两点之间的距离是10cm.
(2)如图,连接$BQ$.设经过$y$s,$\triangle PBQ$的面积为$12cm^{2}$.
①当$0\leq y\leq\frac{16}{3}$时,$PB=(16 - 3y)$cm,应分类讨论,当点$P$在$AB$上运动
则$\frac{1}{2}PB\cdot BC=\frac{1}{2}(16 - 3y)\times6 = 12$,解得$y = 4$;
②当$\frac{16}{3}＜y\leq\frac{22}{3}$时,$BP = 3y - AB=(3y - 16)$cm,$QC =$当点$P$在$BC$上运动
$2y$cm,则$\frac{1}{2}BP\cdot CQ=\frac{1}{2}(3y - 16)\times2y = 12$,解得$y_{1}=6,y_{2}=-\frac{2}{3}$(舍去);
③当$\frac{22}{3}＜y\leq8$时,$QP = CQ - PC = 2y-(3y - 22)=$当点$P$在$CD$上运动
$(22 - y)$cm,
则$\frac{1}{2}QP\cdot CB=\frac{1}{2}(22 - y)\times6 = 12$,解得$y = 18$(舍去).
综上所述,经过4s或6s,$\triangle PBQ$的面积为$12cm^{2}$.
思路引导 动态问题解题的基本思想是化动为静,即假设运动时间为$t$,在第$t$秒这一时刻,动态问题就成了一个静态问题.观察图形,寻找相等关系,物体运行的路线与图中其他线段会构成直角三角形,可运用直角三角形的性质列方程求解.

11. (2024·通辽中考)如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍,其面积为$15m^{2}$,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其他材料制成),则BC长为(C).

A. 5m或6m
B. 2.5m或3m
C. 5m
D. 3m

答案： C