《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2025·浙江宁波镇海区蛟川书院月考)如图,在以AB为直径的半圆O中,弦AC// OD,若∠CAB= 70°,则∠ACD的度数为(D).

A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 125°

答案： D

2. (2024·常州中考)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,连接AD,BC,BD.若∠BCD= 20°,则∠ABD= ______°.

70

答案： 70

3. 新情境 监控角度 (2023·郴州中考)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.

答案： 4　[解析]
∵∠P = 55°，
∴∠P所对弧所对的圆心角是110°。
∵360°÷110° = 3$\frac{3}{11}$，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台。

4. 教材P87例4·变式 (2024·安徽合肥包河区滨湖寿春中学期末)如图,⊙O的直径AB= 10cm,弦长AC= 6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长;8cm
(2)求△ABD的面积.25cm²

答案：
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = ∠ADB = 90°。
在Rt△ABC中，AB² = AC² + BC²，AB = 10cm，AC = 6cm，
∴BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8(cm)。
(2)
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD = ∠BCD，
∴$\overset{\frown}{AD}$ = $\overset{\frown}{BD}$，
∴AD = BD。
在Rt△ABD中，AD² + BD² = AB²，
∴AD² + BD² = 10²，
∴AD = BD = $\sqrt{\frac{100}{2}}$ = 5$\sqrt{2}$(cm)，
∴△ABD的面积 = $\frac{1}{2}$×(5$\sqrt{2}$)² = 25(cm²)。

5. (2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE// AD,交CD于点E.若∠BEC= 50°,则∠ABC的度数是(C).

A. 50°
B. 100°
C. 130°
D. 150°

答案： C

6. (重庆渝北区自主招生)如图,四边形BCDE内接于⊙O,AB是⊙O的直径,满足AB⊥CD于点F,连接AE,BD.若∠ABC= ∠DBE,CF= 2AF= 4,则点E到线段AB的距离为______.

答案：
$\frac{24}{5}$　[解析]如图，连接OC，过点E作ER⊥AB于点R。
设OA = OC = r，则OF = r - 2。
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CF = DF = 4，$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{AD}$，
∠AEB = 90°。
在Rt△OCF中，由勾股定理，得r² = 4² + (r - 2)²，
解得r = 5，
∴AB = 10。
∵∠ABC = ∠DBE，
∴$\overset{\frown}{AC}$ = $\overset{\frown}{DE}$ = $\overset{\frown}{AD}$，
∴$\overset{\frown}{CD}$ = $\overset{\frown}{AE}$，
∴CD = AE = 8。
∵AB是直径，
∴∠AEB = 90°，
∴BE = $\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-8^{2}}$ = 6。
∵ER⊥AB，
∴$S_{\triangle ABE}$ = $\frac{1}{2}$AB·ER = $\frac{1}{2}$AE·BE，
∴ER = $\frac{24}{5}$，
∴点E到线段AB的距离为$\frac{24}{5}$。

7. (2024·浙江温州乐清期中)如图,在半圆ACB中,点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,点E在直径AB上,且AE= AC,半径OD交CE于点F.
(1)求证:OF= OE;
(2)若OF= 6,DF= 4,求CF的长.

答案：

(1)如图，连接BC，交OD于点G。
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴AC⊥BC。
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，OD是半径，
∴OD⊥BC，
∴OD//AC，
∴∠OFE = ∠ACE。
∵AE = AC，
∴∠OEF = ∠ACE，
∴∠OFE = ∠OEF，
∴OF = OE。
(2)
∵OF = 6，DF = 4，
∴OE = OF = 6，OA = OB = OD = OF + DF = 10，
∴AC = AE = AO + OE = 16，AB = 20。
在Rt△ACB中，BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = 12。
∵OD是半径且OD⊥BC，
∴BG = CG = 6。
在Rt△OBG中，OG = $\sqrt{OB^{2}-BG^{2}}$ = 8，
∴FG = OG - OF = 2，
∴在Rt△CFG中，CF = $\sqrt{CG^{2}+FG^{2}}$ = 2$\sqrt{10}$。
思路引导　
(1)连接BC，交OD于点G，根据圆周角定理和垂径定理可得到OD//AC，进而得到∠OFE = ∠OEF，即可得出结论；
(2)根据勾股定理求出BC，OG，进而求出FG，再根据勾股定理可求出CF。