《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

1. (2023·江西中考)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为(D).

A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个

答案： D

2. 教材P101习题T1·变式(2025·浙江温州期中)已知$\odot O$的半径为4cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P(A).
A. 在圆内
B. 在圆上
C. 在圆外
D. 不能确定

答案： A

3. (2024·苏州中考)如图,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形,若$∠OBC= 28^{\circ }$,则$∠A= $______62$^{\circ }$.

答案： 62

4. 如图,在三角形ABC中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 3,AC= 4$,AD是高线.
(1)以点A为圆心,3为半径作$\odot A$,则点B,D,C与$\odot A$的位置关系如何?
点B在⊙A上,点D在⊙A内,点C在⊙A外.
(2)若以点A为圆心作$\odot A$,使B,D,C三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求圆A的半径r的取值范围.
⊙A的半径r的取值范围为$\frac{12}{5} ＜r＜4$.

答案：
(1)
∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∴BC= $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$ =5.
∵$S_{△ABC}$ = $\frac{1}{2}$ AD·BC = $\frac{1}{2}$ AB·AC,
∴AD = $\frac{12}{5}$.
∵半径r = 3,
∴AB = r,AD＜r,AC＞r,
∴点B在⊙A上,点D在⊙A内,点C在⊙A外.
(2)由题意可知AB = 3,AC = 4,AD = $\frac{12}{5}$,
∴AD＜r＜AC,即 $\frac{12}{5}$ ＜r＜4,
∴⊙A的半径r的取值范围为 $\frac{12}{5}$ ＜r＜4.

5. (2023·台湾中考)如图的方格纸中,每个方格的边长为1,A,O两点皆在格线的交点上,今在此方格纸格线的交点上另外找两点B,C,使得$\triangle ABC$的外心为O,则BC的长度为( ).

A. 4
B. 5
C. $\sqrt {10}$
D. $\sqrt {20}$

答案：
D [解析]
∵△ABC的外心为O,
∴OB = OC = OA.
∵OA = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{10}$,
∴OB = OC = $\sqrt{10}$.
∵B,C是方格纸格线的交点,
∴B,C的位置如图所示,
　
∴BC = $\sqrt{2^{2}+4^{2}}$ = $\sqrt{20}$.
　故选D.

6. (2025·江苏南京联合体月考)如图,AB是半圆O的直径,点D在半圆O上,$AB= 2\sqrt {61},AD= 10$,C是弧BD上的一个动点,连接AC,过点D作$DH⊥AC$于点H,连接BH,在点C移动的过程中,BH的最小值为( ).

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案：
D [解析]如图,取AD的中点M,连接BD,HM,BM.
　
∵DH⊥AC,
∴∠AHD = 90°,
∴点H在以M为圆心,MD为半径的⊙M上,
∴当M,H,B共线时,BH的值最小.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB = 90°,
∴BD = $\sqrt{(2\sqrt{61})^{2}-10^{2}}$ = 12,
∴BM = $\sqrt{BD^{2}+DM^{2}}$ = $\sqrt{12^{2}+5^{2}}$ = 13,
∴BH的最小值为BM - MH = 13 - 5 = 8.故选D.

7. 如图,已知矩形ABCD的边$AB= 4,BC= 8$,现以点A为圆心作圆,如果B,C,D至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,那么$\odot A$的半径r的取值范围是______4＜r＜4$\sqrt{5}$.

答案： 4＜r＜4$\sqrt{5}$ [解析]连接AC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC = 90°,
∴AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+8^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$.
∵以点A为圆心作圆,B,C,D至少有一点在圆内,
∴r＞4.
∵至少有一点在圆外,
∴r＜4$\sqrt{5}$,
∴⊙A半径r的取值范围是4＜r＜4$\sqrt{5}$.
　归纳总结　本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP = d,则有:①点P在圆外⇔d＞r;②点P在圆上⇔d = r;③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键.

8. 动点定圆模型(广东广州前六高中自主招生)如图,已知以AB为直径的$\odot O$,C为$\overset{\frown }{AB}$的中点,P为$\overset{\frown }{BC}$上任意一点,$CD⊥CP$交AP于点D,连接BD,若$AB= 6$,则BD的最小值为______.

答案：
3$\sqrt{5}$ - 3 [解析]如图,以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ,连接OC,AC,BC,BQ,则∠AQC = 90°.
∵AB为⊙O的直径,C为 $\overarc{AB}$ 的中点,
∴∠AOC = 90°,
∴∠APC = 45°.又CD⊥CP,
∴∠DCP = 90°,
∴∠PDC = 45°,∠ADC = 135°,
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心,AQ为半径的 $\overarc{AC}$.
∵AB = 6,C为 $\overarc{AB}$ 的中点,
∴△ACB是等腰直角三角形,
∴AC = 3$\sqrt{2}$,
∴在Rt△ACQ中,AQ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ AC = 3,
∴BQ = $\sqrt{3^{2}+6^{2}}$ = 3$\sqrt{5}$.
∵BD≥BQ - DQ,
∴BD的最小值为3$\sqrt{5}$ - 3.