《2025年实验班提优训练九年级数学上册人教版》

11. (2025·安徽六安金安区期中)如图是二次函数$y = \frac{1}{2}(x - h)^2(h \neq 0)$的图象,其中$OA = OC$,求抛物线的解析式.

抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$.

答案：
∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x−h)²,
∴C(h,0).
当x=0时,y=$\frac{1}{2}$(0−h)²=$\frac{1}{2}$h²,
∴A(0,$\frac{1}{2}$h²).
∵OA=OC,
∴$\frac{1}{2}$h²=h,解得h₁=2,h₂=0(舍去),
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$(x−2)².

12. (2025·江苏苏州吴江实验中学教育集团期中)如图,抛物线$y = -3x^2 + m与y轴交于点A$,过点$A作与x$轴平行的直线,交抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 1)^2于点B,C$(点$B在点C$的左面),若$BC = 4$,求$m$的值.

$m=$2

答案：
∵抛物线y=−3x²+m与y轴交于点A,
∴A(0,m),
∴点B,C的纵坐标为m.
令$\frac{1}{2}$(x+1)²=m,化简,得x²+2x+1−2m=0.
设B(x₁,m),C(x₂,m),则x₁+x₂=−2,x₁x₂=1−2m,
∴BC=x₂−x₁=$\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{(-2)^2 - 4(1 - 2m)} = 4$,
∴m=2.

13. (2024·河北邯郸旭日中学期中)已知点$P(m,a)是抛物线y = a(x - 1)^2$上的点,且点$P$在第一象限内.
(1)求$m$的值;2
(2)过点$P作PQ // x轴交抛物线y = a(x - 1)^2于点Q$,若$a$的值为 3,试求点$P$,点$Q及原点O$围成的三角形的面积.3

答案：
(1)
∵点P(m,a)是抛物线y=a(x−1)²上的点,
∴a=a(m−1)²,解得m=2或m=0.
∵点P在第一象限内,
∴m=2.
(2)
∵a的值为3,
∴二次函数的解析式为y=3(x−1)²,点P的坐标为(2,3).
∵PQ//x轴交抛物线y=a(x−1)²于点Q,
∴3=3(x−1)²,解得x=2或x=0,
∴点Q的坐标为(0,3),
∴PQ=2,
∴$S_{\triangle PQO} = \frac{1}{2}OQ \cdot PQ = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$.

14. 如图,已知抛物线$y = x^2 - (m + 3)x + 9的顶点C在x$轴正半轴上,直线$y = x + 3与抛物线交于A,B$两点,与$x$轴,$y轴交于D,E$两点.
(1)求$m$的值;
(2)求$A,B$两点的坐标;
(3)点$P(a,b)(-3 ＜ a ＜ 1)$是抛物线上一点,当$\triangle PAB的面积是\triangle ABC$面积的 2 倍时,求$a,b$的值.

答案：

(1)
∵抛物线y=x²−(m+3)x+9的顶点C在x轴正半轴上,
∴y=x²−(m+3)x+9可以写成y=(x−h)²的形式,即x²−(m+3)x+9为完全平方式,则−(m+3)=±6,解得m=3或m=−9(舍去).
(2)由
(1),知抛物线的解析式为y=x²−6x+9,
联立$\begin{cases}y = x^2 - 6x + 9,\\y = x + 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = 6,\\y = 9,\end{cases}$
∴A(1,4),B(6,9).
(3)如图,分别过A,B,P三点作x轴的垂线,垂足分别为R,S,T.

∵A(1,4),B(6,9),C(3,0),P(a,b),
∴AR=4,BS=9,RC=3−1=2,CS=6−3=3,RS=6−1=5,PT=b,RT=1−a,ST=6−a,
∴$S_{\triangle ABC} = S_{梯形ABSR} - S_{\triangle ARC} - S_{\triangle BCS} = \frac{1}{2} \times (4 + 9) \times 5 - \frac{1}{2} \times 2 \times 4 - \frac{1}{2} \times 3 \times 9 = 15$,$S_{\triangle PAB} = S_{梯形PBST} - S_{梯形ABSR} - S_{梯形ARTP} = \frac{1}{2}(9 + b)(6 - a) - \frac{1}{2} \times (4 + 9) \times 5 - \frac{1}{2}(b + 4)(1 - a) = \frac{1}{2}(5b - 5a - 15)$.
又$S_{\triangle PAB} = 2S_{\triangle ABC}$,
∴$\frac{1}{2}(5b - 5a - 15) = 30$,
∴b−a=15,
∴b=15+a.
∵点P在抛物线上,
∴b=a²−6a+9,
∴15+a=a²−6a+9,解得$a = \frac{7 ± \sqrt{73}}{2}$.
∵−3＜a＜1,
∴$a = \frac{7 - \sqrt{73}}{2}$.
∴$b = 15 + \frac{7 - \sqrt{73}}{2} = \frac{37 - \sqrt{73}}{2}$.
思路引导　在
(1)中由顶点在x轴的正半轴上可求出m的值,在
(2)中注意函数图象交点的求法,在
(3)中用点P坐标表示出△PAB的面积是解题的关键.